Арифметика в правилах icon

Арифметика в правилах



НазваниеАрифметика в правилах
Дата конвертации18.09.2012
Размер106.12 Kb.
ТипДокументы
источник




АРИФМЕТИКА В ПРАВИЛАХ


Натуральные числа возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий труда и т.д. Ряд натуральных чисел:


1, 2, 3, 4, 5, …


является бесконечным и называется натуральным рядом.


Сложение является начальным понятием, для которого невозможно дать строгое формальное определение. Тем не менее, чтобы придать этому действию некоторое разумное представление, мы скажем, что сложение – это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми. Например, 11 + 6 = 17. Здесь 11 и 6 – слагаемые, 17 – сумма. Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится: 11 + 6 = 17 и 6 + 11 = 17.


Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа (уменьшаемого) другое (вычитаемое) - значит найти такое третье число (разность), которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое: 17 – 6 = 11. Здесь 17 – уменьшаемое, 6 – вычитаемое, 11 – разность.


Умножение. Умножить одно число n (множимое) на другое целое число m (множитель) - значит повторить множимое n в качестве слагаемого m раз. Результат умножения называется произведением. Запись операции умножения: n ∙ m . Например,

12 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. Таким образом, 12 4 = 48 или 12 ∙ 4 = 48. Здесь 12 – множимое, 4 – множитель, 48 – произведение. Если множимое n и множитель m поменять местами, то произведение не изменится. Например, 12 · 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48 и соответственно, 4 · 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. Поэтому множимое и множитель часто называются сомножителями.


Деление является действием, обратным к умножению, так как это операция нахождения одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю: Разделить одно число (делимое) на другое (делитель) – значит найти такое третье число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое: 48 : 4 = 12. Здесь 48 – делимое, 4 – делитель, 12 – частное. Частное от деления одного целого числа на другое целое число может и не быть целым числом. Тогда это частное представляется в виде дроби. Если частное – целое число, то говорят, что эти числа делятся нацело. В противном случае мы выполняем деление с остатком. Пример: 23 не делится на 4, в этом случае мы можем записать: 23 = 5 · 4 + 3. Здесь 3 – остаток.


Порядок действия. Результат выполнения нескольких операций зависит, вообще говоря, от порядка действий. Например, 8 – 3 + 4 = 9. Однако, если сначала сложить 3 и 4, а затем вычесть полученную сумму из 8, то получим 1. Таким образом, для получения правильного результата должен быть установлен определённый порядок действий. Чтобы указать, в каком порядке должны выполняться действия, пользуются скобками. Если скобки отсутствуют, действия выполняются в следующем порядке:


1) возведение в степень и извлечение корня (в порядке их следования);


2) умножение и деление (в порядке их следования);


3) сложение и вычитание (в порядке их следования).


При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках в указанном выше порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же с соблюдением указанного выше порядка.


Признаки делимости


Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.


Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.


Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.


Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.


Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.


Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.


Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.


Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.


Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.


Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.


Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.


Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.


^ Простые и составные числа. Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:


2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,


47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,


103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,


157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.


^ Разложение на множители. Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей. Например,


48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 225 = 3 · 3 · 5 · 5, 1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .


Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1463. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел:


2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,


47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,


103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.


Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе, которое является делителем данного числа. В нашем примере это 7. Делим 1463 на 7 и получаем 209. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 209 и останавливаемся на числе 11, которое является его делителем (см. параграф “Признаки делимости”). Делим 209 на 11 и получаем 19, которое в соответствии с этой же таблицей является простым числом. Таким образом, имеем: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19, т.е. простыми делителями числа 1463 являются 7, 11 и 19. Описанный процесс можно записать следующим образом:


Делимое Делитель

----------------------------

1463 7

209 11

19 19

----------------------------


Часть единицы или несколько её частей называются обыкновенной или простой дробью. Количество равных частей, на которые делится единица, называется знаменателем, а количество взятых частей – числителем. Дробь записывается в виде:





Здесь 3 – числитель, 7 – знаменатель.


Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше 1 и называется правильной дробью. Если числитель равен знаменателю, то дробь равна 1. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше 1. В обоих последних случаях дробь называется неправильной. Если числитель делится на знаменатель, то эта дробь равна частному от деления: 63 / 7 = 9. Если деление выполняется с остатком, то эта неправильная дробь может быть представлена смешанным числом:




Здесь 9 – неполное частное (целая часть смешанного числа), 2 – остаток (числитель дробной части), 7 – знаменатель.


Часто бывает необходимо решать обратную задачу – обратить смешанное число в дробь. Для этого умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавляем числитель дробной части. Это будет числитель обыкновенной дроби, а знаменатель остаётся прежним.





Обратные дроби – это две дроби, произведение которых равно 1. Например, 3 / 7 и 7 / 3 ; 15 / 1 и 1 / 15 и т.д.


Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется расширением дроби. Например,





^ Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется сокращением дроби. Например,




^ Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:




Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше:





Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.


П р и м е р . Сравнить две дроби:





Р е ш е н и е. Расширим первую дробь на знаменатель второй, а вторую - на знаменатель первой:





Использованное здесь преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.


^ Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.


П р и м е р .





^ Умножение дробей. Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе.


П р и м е р .




^ Деление дробей. Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь. Это правило вытекает из определения деления


П р и м е р .





^ Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками.


П р и м е р .



Одно из преимуществ десятичных дробей – они легко приводятся к виду обыкновенных: число после десятичной точки (в нашем случае 5047) – это числитель; знаменатель же равен n–ой степени 10, где n - количество десятичных знаков (в нашем случае n = 4):





Если десятичная дробь не содержит целой части, то перед десятичной точкой ставится ноль:





Свойства десятичных дробей.


1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули:


13.6 =13.6000.


2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные


в конце десятичной дроби:


0.00123000 = 0.00123 .


Внимание! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!


3.Десятичная дробь возрастает в 10, 100, 1000 и т.д. раз, если перенести


десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:


3.675 ---> 367.5 (дробь возросла в 100 раз).


4.Десятичная дробь уменьшается в 10, 100, 1000 и т.д. раз, если перенести


десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:


1536.78 ---> 1.53678 (дробь уменьшилась в 1000 раз).


Эти свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д.


^ Сложение и вычитание десятичных дробей.

Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.


П р и м е р .



^ Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.


Замечание: до простановки десятичной точки в произведении нельзя отбрасывать нули в конце!


П р и м е р .



Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0.0197056.


Деление десятичных дробей


Деление десятичной дроби на целое число


Если делимое меньше делителя, записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.


П р и м е р . Разделить 1.328 на 64.


Р е ш е н и е :




Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обратно


Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки, а в качестве знаменателя взять n-ую степень десяти ( здесь n – количество десятичных знаков ). Отличная от нуля целая часть сохраняется в обыкновенной дроби; нулевая целая часть опускается. Например:





Для того, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить числитель на знаменатель в соответствии с правилами деления.


П р и м е р . Обратить 5 / 8 в десятичную дробь.


Р е ш е н и е . Деля 5 на 8, получаем 0.625. ( Проверьте, пожалуйста! ).


В большинстве случаев этот процесс может продолжаться бесконечно. Тогда невозможно точно обратить обыкновенную дробь в десятичную. Но на практике это никогда и не требуется. Деление прерывается, если представляющие интерес десятичные знаки уже получены.


П р и м е р . Обратить 1 / 3 в десятичную дробь.


Р е ш е н и е . Деление 1 на 3 будет бесконечным: 1:3 = 0.3333…


Проценты


Процент – это сотая часть единицы. Запись 1% означает 0.01. Существует три основных типа задач на проценты:


Задача 1. Найти указанный процент от заданного числа.

Заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение делится на 100.


П р и м е р . Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10000 руб. На сколько возрастёт сумма вклада в конце года?

Р е ш е н и е : 10000 · 6 : 100 = 600 руб.


Задача 2. Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.

Заданное число делится на его процентное выражение и результат умножается на 100.


П р и м е р . Зарплата в январе равнялась 1500 руб., что составило 7.5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?

Р е ш е н и е : 1500 : 7.5 · 100 = 20000 руб.


Задача 3. Найти процентное выражение одного числа от другого.

Первое число делится на второе и результат умножается на 100.


П р и м е р . Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году – только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?

Р е ш е н и е : 36000 : 40000 · 100 = 90% .




Похожие:

Арифметика в правилах iconАрифметика в правилах
Натуральные числа возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий...
Арифметика в правилах iconКонспект урока «Двоичная арифметика» ( 8 класс)
Оснащение: мультимедийный проектор, презентация «Двоичная арифметика», разработанная учителем с использованием презентации Багровой...
Арифметика в правилах iconДокументи
1. /системы счисления/cc фим 11/дз 1.doc
2. /системы...

Арифметика в правилах iconДокументи
1. /системы счисления/cc фим 11/дз 1.doc
2. /системы...

Арифметика в правилах iconВикторина, посвященная истории арифметики Кому принадлежит высказывание: «Математика царица наук, а арифметика царица математики»?
Кому принадлежит высказывание: «Математика – царица наук, а арифметика – царица математики»?
Арифметика в правилах iconТема: Подання даних в еом та двійкова арифметика

Арифметика в правилах iconДокументи
1. /двоичная арифметика.doc
Арифметика в правилах iconДокументи
1. /Кл. час О правилах кошке/Клас. час о противоп. безопас..docx
2. /Кл....

Арифметика в правилах iconУтверждено: Директор школы: В. В. Галкина Положение о правилах внутришкольного распорядка обучающихся
Положение «О правилах внутришкольного распорядка обучающихся» осуществляется на основании Закона «Об образовании» Российской Федерации...
Арифметика в правилах iconДвоичная арифметика Введение Сложение
Учащиеся должны уметь: Производить арифметические действия в двоичной системе счисления
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib2.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы