1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения icon

1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения



Название1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения
Дата конвертации27.01.2013
Размер118.24 Kb.
ТипДокументы
источник

1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения.


Равносильные уравнения.

Это уравнения имеющие одно и то же множество корней.

Следует что два уравнения равносильны если каждый корень первого уравнения являеться корнем второго уравнения и , наоборот ,

каждый корень второго уравнения являеться корнем первого уравнения,Уравнения , не имеющие корней , также считают равносильными.

Любой член уравнения можно переносить из одной части в другую , изменик его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю.

При этих преобразованиях исходное уравнение заменяеться на равносильное ему уравнение. Заметим , что если некоторое выражение в левой

или правой части уравнения заменить тождественно равным ему выражением,то получиться уравнение , равносильное исходному. Однако не при любом

преобразовании уравнение заменяеться на равносильное.

Например , при возведении в квадрат обеих частей уравнения SQRx=x-2 получаеться уравнение х=(х-2)^2 , не равносильное исходному : первое

уравнение имеет только один корень х=4 , а второе - два корня х1=4 и х2=1.В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения.

"Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит , то второе уравнение называют следствием первого уравнения.

Иначе,если все корни первого уравнения являються корнями второго уравнения , то второе уравнение называеться следствием первого уравнения."

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует , что:

"1)если два уравнения равноильны , то каждое из них являеться следствием другого;

2)если каждое из двух уравнений являеться следствием другого , то эти уравнения равносильны"

Главное не потерять корни.и не добавить посторонних.


2 Ирациональные уравнения (на примерах).

Иррациональными уравнениями называються те уравнения в которых неизвестное х находиться под корнем.

И их решение основываеться на свойстве:

"При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получаеться уравнение-следствие данного"

Если корень квадратный - то нужно возводить все уравнение в квадрат ( 2 )

Если корень кубический - то нужно возводить все уравнение в куб ( 3 )

и .т.д

При решении иррационального уравнения можно получить посторонний корень , поэтому нужно после решения иррационального уравнения делать проверку, и

отсеить его если он есть.


3 Неравенства с 1 переменной.

Рассмотрим неравенство 5х-10>2. При одних значения переменной х оно обращается верное числовое неравенство, а при других нет. Например, если вместо числа х подставить число 3, то получится верное числовое неравенство 5∙3-10>2 (5>2), а если подставить число 2, то получится неравенство 5∙2-10>2, которое не является верным (0>2). Говорят, что число 3 является решением неравенства 5х-10>2 или удовлетворяет этому неравенству. Но таких чисел может быть много.

Таким образом, решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.


4 Метод интервалов (на примерах).



Разложить многочлены P(x) и Q(x) на линейные множители.   Количество множителей может быть любым, но обязательно в разностях каждого множителя x  всегда является уменьшаемым и коэффициенты при переменной x  должны быть положительными (канонический вид) Если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, не четное, то знак сравнения решаемого неравенства меняется на противоположный. Но если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, четное, то знак сравнения решаемого неравенства остается тем же.

Найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось. Найти все корни - значит решить уравнения P(x) = 0 и Q(x) = 0. Отметить на числовой оси корни уравнений в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.

Определить знак неравенства справа от большего корня. Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак «+» и далее знаки чередуются.

Проставить знаки в остальных интервалах, учитывая чентое или нечетное число раз встречается каждый корень. Если корень выражения имеет четную степень (например: (x - 5)2= 0  x = 5 - корень второй степни), то около этого корня выражение не меняет знака. Если корень выражения имеет нечетную степень (например: (x - 5)3 = 0  x = 5 - корень третей степни), то переходя через этот кореньвыражение меняет знак.

Выписать ответы неравенства в виде интервалов. Для неравенства вида P(x) > 0 (P(x 0) или Q(x)P(x)0 (Q(x)P(x)0) ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак "+". Для неравенства вида P(x) < 0 (P(x 0) или Q(x)P(x)0 (Q(x)P(x)0) ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак "-".





5 Квадратные неравенства.

Неравенства которые можно представить в виде

ax^2+bx+c>0

ax^2+bx+c<0

где а ≠0 называються квадратными неравенствами.

Пример:

1)\Неравенство x^2-2x<3 квадратное т.к его можно записать в виде x^2-2x-3<0


2)Неравенство –x^2<4x+5 квадратное т.к его можно записать в виде:

x^2+4x+5>0

Будем считать , что а>0 , т.к если a<0 , то умножив неравенство на (-1) , получим равносильное

Неравенство с a>0 .Например , неравенство –x^2+1>0 равносильно неравенству x^2-1<0


6 Функция. Определение четность и нечётность.


Функция- зависимость переменной у от переменной x, если 
каждому значению х соответствует единственное значение у. 
Переменная х- независимая переменная или аргумент. 
Переменная у- зависимая переменная 
Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х. 
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая 
переменная. 
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые 
принимает функция. 
Функция является четной- если для любого х из области определения 
функции выполняется равенство f(x)=f(-x) 


Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения
функции выполняется равенство f(-x) = f(x).


Примеры: четные функции: y = /x/, y = x2, y = cos x

Свойство четной функции: график четной функции симметричен относительно оси OY.

Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство f(-x) = - f(x).

Примеры: нечетные функции: y = 1/x, y = x3, y = sin x, y = tg x, y = ctg x

Свойство нечетной функции: график нечетной функции симметричен относительно начала координатO.

Из определения четной и нечетной функции следует, что область определения X как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если x принадлежит X, то и -x принадлежит X, т.е. X - симметричное относительно начала координат O.множество.


7 Простейшие уравнения. Преобразование графической функции.


8 Свойства и график п=-2 и п=-3.


Свойства функции y=x3: 
1. Область определения- вся числовая прямая 
2. y=x3 -нечетная функция 
3. Функция возрастает на всей числовой прямой 
Графиком функции является кубическая парабола 
Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой 
y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию 
y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; 
y=x3. Их свойства рассмотрены выше. 
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция 
y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. 
График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при 
|х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее 
прижимаются» к оси Х, чем больше n. 
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае 
функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x 
3. График функции напоминает кубическую параболу. 
Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная 
формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 
получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4. 
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x 
-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х. 
Пусть n- четное число, например n=2. 
Свойства функции y=x-2: 
1. Функция определена при всех x¹0 
2. y=x-2 - четная функция 
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0). 
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.


9 Степенная функция при п=1/2 и 1/3.


Свойства функции y=Öх: 
1. Область определения - луч [0;+¥). 
2. Функция y=Öх - общего вида 
3. Функция возрастает на луче [0;+¥). 
10)Функция y=3Öх 
Свойства функции y=3Öх: 
1. Область определения- вся числовая прямая 
2. Функция y=3Öх нечетна. 
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

10 Показательная функция. Свойства и график.


Показательной функцией называеться функция y=a^x , где а – заданное число , а>0, а =\= 1

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1) Область определения показательной функции – множество R всех действительных чисел.

Это свойство следует из того , что степень а^x , где a>0 , определена для всех хєR

2) Множество значений показательной фунции – множество всех положительных чисел.

Чтобы убедиться в этом , нужно показать , что уравнение a^x =b , где а=\=1, не имеет корней если b0 , и имеет корень при любом b>0.По свойству степени это уравнение не имеет корней , если b0.То ,что это уравнение имеет корень при любом b>0,доказываетьсяв курсе высшей математики.Это означает , что любая прямая y=b,где b>0 ,пересекаеться с графиком показательной функции.

3)Показательная функция y=a^x являеться возрастающей на множестве всех действительных чисел , если a>1 и убывающей , если 0

11 Логарифм и числа. Свойства логарифма.


Логарифмом числа N > 0 по основанию a > 0 называется показатель степени x, в которую надо возвести основание, чтобы получить это число: N = a x. Логарифм записывают в виде x = logaN. 

Итак, x = logaN, если N = a x. Например, log10100 = 2, т.к. 100 = 102. 

Из свойств логарифмической функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единственный действительный логарифм (логарифмы отрицательным чисел являются комплексными числами). 

Основные свойства логарифма: 
loga(MN) = logaM + logaN; 
loga(M/N) = logaM - logaN; 
logaNk = k logaN; 
logak√N = (1/k) logaN; 


12 Основное логарифмическое тождество. Фoрмула перехода к другому основанию.

loga (bc) = loga b + loga C

loga b/C = loga b – loga C

loga b^r = r*loga b.

Фoрмула перехода к другому основанию

logaN=logb N\logb a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0), 


13 ...


Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, 
заданная формулой y=x-r, где r- положительная 
несократимая дробь. 
Свойства функции y=x-r: 
1. Обл. определения -промежуток (0;+¥) 
2. Функция общего вида 
3. Функция убывает на (0;+¥)


14 Показательные ... (на примерах)

Обратная функция 
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo 
уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный 
корень, то говорят, что функция f обратима. 
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и 
областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная 
функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y. 
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), 
надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно 
прямой y=x.


15 Логарифмические уравнения.

Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция. 
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. 
Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

Логарифмические уравнения 
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. 
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида 
loga x = b. (1) 
Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab. 
Пример 1. Решить уравнения: 
a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c) log1\3x=o 
Решение. Используя утверждение 1, получим 
a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) x=(1\3)^0 или x = 1. 


16 Определение cos sin tg ctg дейсвительные числа. Знаки по четвертям.


Синусом угла a называеться ордината точки , полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат

на угол а ( обозначаеться sin a )


Косинусом угла а называеться абцисса точки , полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол а ( обозначаеться cos a )


Тангенсом угла называеться отношение синуса угла а к его косинусу ( обозначаеться tg a )


Обозначаеться формулой : tg a = sin a / cos a


Котангенсом угла называеться прямая противоположность тангенса ( обозначаеться ctg a )

Определяеться формулой : ctg a = cos a / sin a




17 Основные тригонометрические тождества. Зависимость между cos sin tg ctg.


tg α * ctg α= 1

tg α = sin α / cos α

ctg α=cos α / sin α


18 Формулы сложения.


cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β 
cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β 
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β 
sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β 

tg(α + β) =( tg α + tg β ) / ( 1 – tg α * tg β )
tg(α – β) = ( tg α - tg β ) / ( 1 + tg α * tg β )

19 Формулы двойного угла. Формулы понижения степени (формулы половинного аргумента)

Формулы двойного угла.

sin2 α = 2sin α * cos α

cos2 α=cos^2 α – sin^2 α

tg2 α= 2tg α / ( 1- tg^2 α)

Формулы понижения степени.(формулы половинного аргумента)

cos^2 α / 2= ( 1 + cos α ) / 2

sin^2 α/2 = (1 - cos α ) / 2

tg^2 α/2 = ( 1 - cos α ) / ( 1 + cos α)


20 Формулы приведения.

Для синуса:

sin( П/2 – a)=cos a

sin( П – а )=sin a

sin( 3П/2 – a )= - cos a

sin( П/2 + a )=cos a

sin( П + a ) = - sin a

sin( 3П/2 + а ) = - cos a


Для косинуса:

cos( П/2 – a ) = sin a

cos( П – a ) = - cos a

cos( 3П/2 – a ) = - sin a

cos( П/2 + a ) = - sin a

cos( П + a ) = - cos a

cos( 3П/2 + a ) = sin a


21 Фурмулы суммы и разности sin и cos (преобразование суммы и разности функции произведения)

cos α + cos β = 2cos((α + β)/2) cos((α – β)/2) 
cos α – cos β = 2sin((α + β)/2) sin((β – α)/2) 
sin α + sin β = 2sin((α + β)/2) sin((α – β)/2) 
sin α – sin β = 2sin((α – β)/2) cos((α + β)/2) 
tg α + tg β = sin(α + β)/(cos α cos β) 
tg α – tg β = sin(α – β)/(cos α cos β) 
ctg α ± ctg β = sin(β ± α)/(sin α sin β)




Похожие:

1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения iconВыражения и их преобразования. Уравнения (19 часов)
«тождество», «тождественное преобразование», «равносильные уравнения»,т е новой терминологии и символики
1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения iconКонспект по теории с ответами на поставленные учителем вопросы
Цели урока: обобщение темы «Квадратное уравнение»: определение, неполные уравнения, формула корней квадратного уравнения, теорема...
1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения iconЧто такое уравнение Что значит решить уравнение
Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения
1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения iconТема: Уравнение с двумя переменными. Цели урока: Образовательные
Образовательные: ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения с двумя переменными; научить узнавать,...
1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения iconНайдите корень уравнения. Найдите корень уравнения
Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней
1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения iconУравнение с двумя переменными и его график Уравнения х (х — у) = 4
Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными уравнениями
1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения iconКонспект урока алгебры в 8 классе Тема «Уравнение х 2 = а»
Уже в 5 классе они на интуитивном уровне решали уравнения вида х2 = а, но не систематизировали возможные случаи решения этого уравнения...
1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения iconЗадания простейшие уравнения
Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней
1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения iconНайдите корень уравнения
Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них
1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Равносильные уравнения iconТема урока «Показательные уравнения»
Учитель. Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке мы познакомимся и научимся решать показательные уравнения. В названии нашей темы...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib2.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы