Х количество морских звёзд, у icon

Х количество морских звёзд, у



НазваниеХ количество морских звёзд, у
Дата конвертации09.01.2013
Размер445 b.
ТипДокументы
источник





изучить различные способы решения уравнений в целых числах. научиться решать диофантовы уравнения, используя имеющиеся алгоритмы. выполнить сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ и заданий олимпиад разных лет.









Решение:

  • Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов.

  • Тогда у всех осьминогов по ног, а у всех звёзд ног. Составим уравнение:

  • 5х + 8у = 39.

  • Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и

  • у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8.

  • Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда

  • у = 3.



Алгоритм решения в целых числах уравнения вида ax + by = c .

  • 1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b:



3. Найти целое решение (x0, y0) уравнения a1x + b1y= c1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел a и b.

  • 3. Найти целое решение (x0, y0) уравнения a1x + b1y= c1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел a и b.





1. Метод разложения на множители.

  • Задание:

  • Решить уравнение в целых числах y3 - x3 = 91.

  • Решение:

  • 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

  • (y - x)(y2 + xy + x2) = 91 (1)

  • 2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

  • 3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

  • y2 + yx + x2 ≥ y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ≥ 0,

  • следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:

  • 4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

  • Ответ: Уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).



2. Метод испытания остатков.

  • Пример.

  • Решить в целых числах x³ - 3y³ - 9z³ = 0

  • Решение.

  • 1) Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).

  • 2)Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду:

  • x³ = 3y³ + 9z³

  • Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делится на три, следовательно, так как 3 - число простое, х делится на 3, т.е. х = 3k, подставим это выражение в уравнение (3):

  • 27k3 = 3y³ + 9z³, откуда:

  • 9k3 = y³ + 3z³

  • следовательно, y³ делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в уравнение (4):

  • 9k3 = 27m³ + 3z³, откуда

  • 3k3 = 9m³ + z³

  • В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (5), получим, что k3 должно делиться на 3.

  • Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.



Другие методы решения уравнений.

  • При решении следующего уравнения применяется неравенство Коши, справедливое для любых положительных чисел:



Решить в целых числах уравнение

  • Решение:

  • 1) Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Поэтому к сумме, стоящей слева, применим неравенство Коши, получим:

  • =

  • Откуда, xyz = 1.

  • 2) Исследуем возможные наборы трех целых чисел, которые в

  • произведении дают 1. Это могут быть тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1),

  • (-1,1,-1).

  • Непосредственной проверкой убеждаемся, что каждая из них

  • является решением исходного уравнения.

  • Ответ: (1,1,1); (1,-1,-1); (-1,-1,1); (-1,1,-1).



Решение уравнений в целых числах из Единого Государственного Экзамена (задания С6).

  • Пример 1. Решить в натуральных числах уравнение х+ =



Второе решение.

  • Второе решение.

  • Преобразуем уравнение

  • х + = 1 +

  • Тогда х - целая, - дробная часть, поэтому

  • Из второго уравнения следует или у + = 2 +

  • откуда x=1, у = 2, z = 3.

  • Ответ: х = 1, у = 2, z = 3.



Пример 2. Решить в натуральных числах уравнение х + y + z = xyz.



Выводы:

  • при решении неопределенных уравнений в целых числах применяются свойства, оценка выражений, входящих в уравнение; выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби; метод разложения многочлена на множители, метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение;

  • для линейных уравнений с двумя переменными, т.е. уравнения вида ax+by=c, существует алгоритм решения;

  • диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях, заданиях Единого государственного экзамена развивая логическое мышление, повышая уровень математической культуры, прививая навыки самостоятельной исследовательской работы в математике.



Список используемой литературы:

  • Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: Наука, 1972

  • Васильев, Н.Б. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – М., 1998.

  • Материалы для подготовки к ЕГЭ

  • Ресурсы Интернет






Похожие:

Х количество морских звёзд, у icon19 февраля День защиты морских млекопитающих
Всемирный День защиты морских млекопитающих (День Китов) с 1986 года, когда после 200 лет беспощадного истребления Международная...
Х количество морских звёзд, у iconУрок к педсовету в классе-комплекте
Сегодня за каждый верный ответ на уроке и правильно выполненное задание вы будете получать звезды. Оценка за урок будет выставляться...
Х количество морских звёзд, у iconСценарий вечера встречи выпускников «Фабрика звезд выпускников Соболевской сш»
Ведущий: Здравствуйте, дорогие выпускники фабрики звезд под названием Соболевская средняя школа! Мы рады приветствовать всех вас,...
Х количество морских звёзд, у iconМлечный путь Галактика Мле́чный Путь называется также просто Гала́ктика
Гигантская звёздная система, в которой находится Солнечная система, все видимые невооружённым глазом отдельные звёзды, а также огромное...
Х количество морских звёзд, у iconСценарий вечера встречи с выпускниками 2008 год звучит музыка из «Фабрики звезд»
Вед: Здравствуйте, дорогие выпускники фабрики звезд под названием Балашейская средняя школа! Мы рады приветствовать всех вас, фабрикантов...
Х количество морских звёзд, у iconЗагадки про морских животных

Х количество морских звёзд, у iconКласс – 11 учитель: Ласалова Н. В. По программе: количество часов: 68 часов количество лабораторных работ: 3 количество контрольных работ: 3 количество самостоятельных работ: 8 количество хкк гос: 4 количество тем по обж: 3 планирование составлено на основе г.
Планирование составлено на основе г. Я. Мякишева (Сборник программ для общеобразовательных учреждений: Физика 10-11 кл. / Н. Тулькибаева,...
Х количество морских звёзд, у iconРазвернутый план публичного доклада
Количество учащихся по классам. Количество опекаемых, количество стоящих на учете в ипдн
Х количество морских звёзд, у iconКоличественные данные по школьному этапу всероссийской олимпиады школьников
Наименование образовательного учреждения мбоу краснополянская сош №32 Количество обучающихся в оу 320 в том числе количество обучающихся...
Х количество морских звёзд, у iconКоличественные данные по школьному этапу всероссийской олимпиады школьников
Наименование образовательного учреждения мбоу краснополянская сош №32 Количество обучающихся в оу 320 в том числе количество обучающихся...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib2.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы