Автор: Шиповская Юлия icon

Автор: Шиповская Юлия



НазваниеАвтор: Шиповская Юлия
Шиповская Юлия
Дата конвертации02.10.2012
Размер114.86 Kb.
ТипДокументы
источник

РАЙОННАЯ НАУЧНО- ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«СТАРТ В НАУКУ»

КАФЕДРА «Математика»


«Симметрия вокруг нас»


Автор: Шиповская Юлия

Учащаяся 8 «Б» класса,

МОУ СОШ № 3

Руководитель: Боброва Наталья Сергеевна,

учитель математики


г. Ртищево, 2011 г


Оглавление

Введение ………………………………………………………………………………2

Виды симметрии………………………………………………………………………4

  • Центральная симметрия……………………………………………………….4

  • Осевая симметрия ……………………………………………………………..5

  • Зеркальная симметрия ………………………………………………………...7

Симметрия вокруг нас………………………………………………………………...8

  • Симметрия в природе ………………………………………………………….8

  • Симметрия в архитектуре……………………………………………………...8

  • Симметрия в математике………………………………………………………9

Заключение …………………………………………………………………………..12


Введение

«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.»
Герман Вейль


Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картинами явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Поэтому проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях.

Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?

В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота». Действительно, по-гречески оно означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». С давних пор человек наблюдал явление симметрии в природе. Крылья бабочек, зеркально повторяющие друг друга, симметричны. Кусты и деревья симметричны своим отражением в воде. Если мысленно провести вертикальную линию, разделяющую пополам человеческую фигуру, то левая и правая стороны тоже превратятся в части симметричной «композиции».

Симметрия – одно из величайших таинств в природе. Она проявляется не только на уровне изображения и внешнего вида. Это явление и природное, и математическое, и художественное, и космическое.

Цели исследовательской работы:

  • изучение понятия симметрии и её видов (центральная, осевая, зеркальная),

  • проведение исследовательской работы по изучению явлений симметрии в математике, зоологии, ботанике, литературе, живописи, транспорте, технике, архитектуре моего города.

Задачи исследовательской работы:

  • Определить, что называют симметрией,

  • Рассмотреть некоторые виды симметрии в математике,

  • Исследовать некоторые архитектурные сооружения моего города, при проектировании которых использовалась симметрия.



^ Виды симметрии

Фундаментальным понятием науки, которое наряду с понятием "гармонии" имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является «симметрия». Слово «симметрия» в переводе с греческого означает «соразмерность». Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке: «Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство".

Центральная симметрия


Пусть O – фиксированная точка и точка A – произвольная точка. Проведем прямую через точки AO. Отложим от точки O отрезок OA' равный OA, так чтобы OA и OA' были равными. Тогда точка A' называется симметричной точке A относительно точки O.




Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка A переходит в точку A', симметричную относительно данной точки O, называется преобразованием симметрии относительно точки O. Тогда фигуры F и F' называются симметричными относительно точки O.

Если преобразование симметрии переводит фигуру в саму себя, то такая фигура называется центрально-симметричной.

Параллелограмм – центрально-симметричная фигура. Точка пересечения диагоналей параллелограмма – его центр симметрии.




Например, центр круга – это его центр симметрии.


Теорема: Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Доказательство:

Пусть X и Y – две произвольные точки фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X' и Y'. Рассмотрим треугольники XOY и X'OY'. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольника. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OX=OX', OY=OY' по определению симметрии относительно точки O. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY=X'Y'. А значит, что симметрия относительно точки O есть движение.

Теорема доказана.

Осевая симметрия

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.


Пусть даны прямая l и точка A не лежащая на прямой. Опустим из точки A на прямую l перпендикуляр. На продолжении этого перпендикуляра отложим отрезок OA = OA'. Точка A' является симметричной точке A относительно прямой l.

Преобразованием симметрии относительно прямой l, называется такое преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка A переходит в точку A', симметричную относительно прямой l. Такие фигуры F и F' называются симметричными относительно прямой l.

Если преобразование фигуры относительно прямой l переводит ее в саму себя, то эта фигура называется симметричной относительно данной прямой l, а прямая l называется осью симметрии фигуры.

Так ромб симметричен сам себе относительно своих диагоналей. Диагонали ромба являются его осями симметрии.

Теорема: Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Доказательство:

Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат. Пусть произвольная точка A (x;y) фигуры F переходит в точку A' (x';y') фигуры F'. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A' равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: x' = –x.

Возьмем две произвольные точки A (x;y) и B (x;y).

Они перейдут в точки A' (-x;y) и B' (-x;y).

Имеем:



Отсюда видно, что AB=A'B'. А значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение.

Теорема доказана.


Зеркальная симметрия

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости a) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости a точку М1.

Рассмотрим произвольную плоскость в пространстве и такое отображение пространства на себя, при котором каждая точка этой плоскости остается на месте, а точка M, не принадлежащая a, переходит в такую точку M', что плоскость a перпендикулярна отрезку MM' и проходит через его середину. Это отображение называется симметрией пространства относительно плоскости a.



Зеркально симметричным считается объект, состоящий из двух половин, которые являются зеркальными двойниками по отношению друг к другу.


^ Симметрия вокруг нас

  1. Симметрия в природе ( Приложение 1)

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

В живой природе огромное большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрий (формы, подобия, относительного расположения). Причем организмы разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип внешней симметрии. Внешняя симметрия может выступить в качестве основания классификации организмов (сферическая, радиальная, осевая и т.д.) Микроорганизмы, живущие в условиях слабого воздействия гравитации, имеют ярко выраженную симметрию формы.

Специфика строения растений и животных определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины).

  1. Симметрия в архитектуре ( Приложение 2)

Архитектура окружает человека на каждом шагу. Архитектура – это строительное искусство, умение проектировать и создавать города, жилые дома, здания, площади и улицы, сады и парки. Во многих городах мира мы встречаем древние кремли, церкви и соборы, дворцы и особняки перед которыми нам хочется остановиться и повнимательнее их рассмотреть. Это потому, что они волнуют наше воображение и чувства. Мы любуемся не только своеобразной красотой этих сооружений, но и восхищаемся трудом и умением строителей. Эти памятники архитектуры относятся к разным эпохам и странам. Они отличаются друг от друга по внешнему виду, но всех их объединяет симметричность многих элементов.

Симметрию в архитектуре мы можем наблюдать в самых знаменитых архитектурных объектах, так например Эйфелева башня, что находится в Париже, Казанский собор в Санкт-Петербурге, в античных сооружениях Древней Греции

Но я задалась вопросом, неужели симметрию применяли лишь только при строительстве самых знаменитых архитектурных объектов? И решила в своем городе тоже найти различные здания, при строительстве которых использовалась симметрия. И такие нашлись. Это например, здание вокзала, кинотеатр им. Калинина, фонтан в парке культуры и отдыха, водонапорная башня на ул. Железнодорожная и т.д. И даже герб нашего города симметричен.

  1. Симметрия в математике

Математически строгое определение симметрии сформировалось сравнительно недавно – в 19 веке. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855 – 1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким-то преобразованиям, выполняемым над ним. В математике рассматривается несколько видов симметрии, которые помогаю решать различные задачи. Рассмотрим некоторые из них.

Задача 1: Две деревни находятся на противоположенных берегах реки l в точках А и В. В какой из точек M, C или N, расположенных на берегу реки, нужно поставить водонапорную башню, чтобы общая длина трубопровода от башни до деревни была наименьшей?

Решение: в точке С, где С – точка пересечения АВ с прямой l.

Задача 2: Две деревни находятся на одном берегу реки l в точках А и D, а третья деревня находится на другом берегу реки в точке , причем деревни В и D расположены на одинаковом расстоянии от реки на одной прямой, перпендикулярной l. Где на берегу реки нужно поставить водонапорную башню С, чтобы общая длина труб от деревень А и В до башни С была равна общей длине труб от деревень А и D до башни С?

Решение: проведем отрезок АВ, который пересечет l в точке С. отрезки CD и СВ симметричны относительно прямой l, значит CD=CB и AC+CD=AC+CB=AB.

При этом длина АВ – наименьшее значение суммы АС+CD.

Ответ: в точке пересечения АВ и l.

Замечание: Искомая точка С в данной задаче удовлетворяет двум условиям:

  1. условию АС+CD=AC+CB.

  2. AC+CD принимает наименьшее значение.

Условию 1) удовлетворяют все точки прямой l (например точка С1), а условию 2) – только точка С этой прямой, так как

АС+CD=АВ
Задача 3: Построить квадрат, две противоположенные вершины которого лежат на данной прямой l , а две другие – на двух данных окружностях Г1 и Г2 .

Решение: Предположим, что задача решена и при построении квадрат ABCD. Так как противоположенные вершины квадрата симметричны относительно прямой, проходящей через две другие вершины, то точки А и С симметричны относительно прямой l. Но точка А лежит на окружности Г1 , а поэтому симметричная с ней точка С должна лежать на окружности Г1, симметричной относительно прямой l. Кроме того, эта точка должна лежать и на окружности Г2, а поэтому она принадлежит пресечению окружностей Г1 и Г2.

Проведенный анализ подсказывает следующие построения. Строим окружность Г1, симметричную окружности Г1 относительно прямой l, и отмечаем точки С1 и С2 пересечения окружности Г1 с окружностью Г2. Далее находим на окружности Г1 точку А1, симметричную С1 относительно прямой l. Пусть О= С1А1 l, на прямой l откладываем отрезки ОВ1 и ОD1 равные отрезку ОС1. Легко проверить, что A1B1C1D1– квадрат, удовлетворяющий условию задачи. Второй квадрат получится, если выполнить аналогичные построения для точки С2.

Задача 4: Пожарная машина из гаража(точка А) должна как можно быстрее доехать до горящего дома ( точка D) , заехав на реку l за водой. Какой путь будет для нее кратчайшим?

Решение: Строим точка В, где точка В симметрична точки D. Затем находим точку пересечения АВ и l – точку.

Ответ: АС+СD – кратчайший путь машины

Задача 5: Даны угол COB и точка М внутри него. Провести через точку М прямую, отрезок которой, заключенный между сторонами угла, делится в точке М пополам.

Решение: предположим, что задача решена и СD – искомая прямая. Тогда точки С и D симметричны относительно точки М. если точка Т симметрична с точкой О относительно точки М, то ОСТD – параллелограмм и поэтому ТD  ОА, ТС  ОВ. Значит, для решения задачи надо построить точку Т, симметричную с точкой О относительно М, и провести через точку Т прямые ТС и ТD, параллельные сторонам угла. Точки пересечения ТС с ОА и ТD с ОВ и будут лежать на искомой прямой. Достаточно построить одну из точек С или D, так как одну точку прямой мы уже знаем – точку М.


Заключение

А собственно, как бы нам жилось без симметрии?

Точнее, какую роль играет симметрия в нашем мире? Неужели она лишь украшает его?

Оказывается, что без симметрии наш мир выглядел бы совсем по-другому. Ведь это именно на симметрии основаны многие законы сохранения. Например, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются следствиями пространственно-временных симметрий, которые являются, как математическими, так и физическими симметриями. И без этих симметрий не было бы законов сохранений, которые во многом управляют нашим миром.

Так что симметрия – пожалуй, чуть ли не самая главная вещь во Вселенной.

Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом

познания основных закономерностей существования материи.

Симметрия играет огромную роль в искусстве: в архитектуре, в математике, в музыке, в поэзии; природе: у растений и животных; в технике, в быту.







Похожие:

Автор: Шиповская Юлия iconАдминистрация Ташлинского района Оренбургской области
Обществознание (9 человек)- ковалевская Татьяна, Коршунова Анна, Кузовенко Екатерина, Кучерявая Анастасия, Ломовцев Виктор, Матюшкина...
Автор: Шиповская Юлия iconМуниципальное учреждение му«Дновская цбс»
Последний рыцарь Тулузы: [роман] / Андреева Юлия Игоревна; Юлия Андреева; [ред. Д. С. Федотов; худож. Ю. М. Юров]. Москва: Вече,...
Автор: Шиповская Юлия iconЗаседание Ольховатского клуба молодой семьи в рамках реализации плана проведения Года учителя в Ольховатском муниципальном районе. Автор текста Юлия Грибанова
Семья является тем основополагающим фактором формирования личности ребёнка, который определяет его будущее в целом, его достижения...
Автор: Шиповская Юлия iconНаличие публикаций на муниципальном уровне Кузнецова А. В., Баталина Юлия «Дымковская игрушка»
Кузнецова А. В., Баталина Юлия «Дымковская игрушка» (стр. 17)/ «Первые шаги в научном поиске» с. 256, (из опыта работы проектно-исследовательской...
Автор: Шиповская Юлия iconРоссия- мое Отечество. Женщины в российской истории Велика княгиня Екатерина Воронцова-Дашкова Автор: Тарасова Юлия Владимировна, мбоу сош №77, 6 а класс Макарова Елена Владимировна
Екатерины II великой княгиню Екатерину Романовну Дашкову (и на сей день единственного президента-женщину). Деятельность этой женщины...
Автор: Шиповская Юлия iconДрунина Юлия

Автор: Шиповская Юлия iconЮлия Гольдштейн

Автор: Шиповская Юлия iconПрограмма по математике 3 класс Автор-составитель
Автор-составитель: Григорьева Тамара Николаевна, учитель начальных классов первой квалификационной категории
Автор: Шиповская Юлия iconРунк Юлия 1место в районе

Автор: Шиповская Юлия iconГалямова Юлия Владимировна. Группа №4

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib2.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы