Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 icon

Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13



НазваниеВведение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13
Дата конвертации29.07.2013
Размер170.66 Kb.
ТипПрограмма
источник






Содержание

Введение 3

Матрицы 5

Бинарные меры 5

Многоместные меры 9

Унарные меры 10

Несимметричные графы 13

Оптимальные графы 15

Список рекомендуемой литературы 18



Введение


Программа BioComparison1 предназначена для сравнительного анализа биологических объектов. В структурном отношении представляет из себя программу для среды MS Excel, созданную с помощью языка VBA (Visual Basic for Applications)2. Программа проверена на совместимость с MS Excel 2003 (у пользователей MS Excel 2007 могут возникнуть некоторые сложности с графическим представлением графов). Для работы с программой BioComparison требуется знание MS Excel на уровне пользователя.



Алгоритмы реализованы на основе математических методов сравнительного анализа биологических объектов. Подробные сведения об этих методах вы можете получить, ознакомившись с источниками, приведёнными в списке литературы. Программа BioComparison является аналитической частью биоинформационной системы (БИС) «Биоразнообразие». Подробнее с нашими исследованиями можно ознакомиться на сайте (www.biocomparison.ucoz.ru) или задать вопрос автору программы по e-mail (gorshkov_mv@mail.ru). Программа не проходила активного бета-тестирования, поэтому автору важны любые замечания от пользователей. Программа является абсолютно бесплатной и поставляется «как есть». Пользователь не имеет права зарабатывать деньги путём продажи программы или сдачи её в аренду. При размещении программы на электронных носителях или страницах Интернет, необходимо указать ссылку на официальный сайт программы: www.biocomparison.ucoz.ru. Запуск программы можно произвести через кнопку в главном меню (для MS Excel 2003) или через меню Сервис\Макрос\Макросы\Panel).

Матрицы


Мы рекомендуем предварительно ознакомиться с методологией и методиками сравнительного анализа в свете схемно-целевого подхода по Б.И. Сёмкину (см. список рекомендованной литературы). Модуль «Матрицы» состоит из трёх вкладок: бинарные, многоместные и унарные – для расчёта соответствующих мер.
^

Бинарные меры


Модуль для расчёта бинарных мер позволяет получить следующие типы матриц:

  • матрица пересечений;

  • матрица включения;

  • матрица сходства;

  • матрица различия.




Внимание!

Матрицы рассчитываются последовательно

Например, из матрицы наблюдений можно получить только матрицу пересечений. Первичной матрицей является матрица наблюдений (типа «объект-признак»), хотя программой предусмотрена возможность начать расчёт с любой матрицы, но дальнейшая последовательность остаётся консервативной (причём недоступные типы матриц будут неактивны). Это сделано для того, чтобы пользователь проводил своё исследование также последовательно. Для выбора типа матрицы исходных данных используется поле «Исходные данные».


Не забывайте определять диапазон, иначе программа будет по умолчанию обрабатывать ранее выбранный диапазон

(он показан в окне выбора диапазона в верхнем левом углу)


Матрица пересечения, матрица включения и матрица сходства должны иметь квадратную форму, т.е. количество столбцов должно быть количеству строк. В противном случае программа выдаёт сообщение об ошибке. Нижележащие матрицы автоматически НЕ пересчитываются, т.к. программа выдаёт не связанную формулу, а результат расчётов.

Необходимо выводить нижеследующие матрицы без пропусков (например, нельзя построить матрицу сходства, если не вывести перед ней матрицу включения). В программе на данный момент не предусмотрена такая возможность.

Рассмотрим математические методы, лежащие в основе алгоритмов программы BioComparison.

Как уже отмечалось выше, первичной матрицей является матрица наблюдений типа объект-признак. В экологии, геоботанике, флористике и т.п. объектами обычно являются участки, флоры и т.д., а признаками – таксоны (чаще всего виды). Также можно сравнивать объекты по обилию, различным спектрам, встречаемости и др. признакам.

Элементы матрицы пересечений определяются по формуле:

,

где mij – элемент, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце матрицы наблюдений; aik и ajk –списки признаков для двух сравниваемых объектов. Матрица симметрична относительно главной диагонали, т.е. (диагональные элементы матрицы пересечения в BioComparison выделяются полужирным курсивом). На диагонали – общее количество признаков в объекте, вне диагонали – количество общих признаков объекта i и объекта j.

Для ненормированных данных матрица пересечений легко преобразуется в матрицу мер включения. Для этого необходимо элементы каждой строки матрицы пересечения разделить на соответствующий этой строке диагональный элемент. Иногда пользователи используют пустые (нулевые) объекты. В MS Excel деление на 0 считается ошибкой, но в программе BioComparison предусмотрена возможность работы с нулевыми значениями матрицы пересечения – хотя такие данные и не несут никакой информации для исследователя (рекомендуем избегать таких данных). В общем случае элементы i-ой строки mi1mi2,…, mij,…, mir делятся на диагональный элемент mii и получается следующая строка:

.

Таким способом можно получить две несимметричные меры K0, где 0 является значением тау-класса мер близости. В общем виде меры включения тау-класса рассчитывается следующим образом:

, , ,

Определение тау-класса важно при дальнейшем расчёте мер сходства (если поле ввода оставить пустым, то по умолчанию тау-индексу присваивается значение «0»). Отдельной меры с τ = + ∞ не предусмотрено, т.е. принято, что значение тау-индекса не ограничено сверху и включает весь натуральный ряд (ограничено только современными возможностями программ, написанных на VBA). Значение тау-индекса прописывается и в названии матрицы включения (например, Матрица включения K(0)) при выводе результата.

Направление включения одного объекта в другой нашей программой определено слева направо (в литературе встречается и альтернативное направление сверху вниз). Например, первая строка матрицы означает степень включения (в %) объекта № 1 в остальные объекты под № 2, 3, ..., n. Обращаем ваше внимание, что элементы матрицы включения, находящиеся симметрично относительно главной диагонали не равны друг другу, а на самой диагонали значения равны 100 (%).

Матрица мер включения является основой создания графов включения и/или таблиц индексов преобладания (см. модуль «Несимметричные графы»).

Существует два способа получения матрицы сходства. Классический способ – это получение матрицы сходства напрямую путём расчёта конкретной меры сходства для каждой пары объектов. Второй способ заключается в симметризации матрицы включения. В программе BioComparison реализован именно второй способ, что соответствует последовательности схемно-целевого подхода.

До расчёта матрицы сходства программа запрашивает определение индекса эта-класса (программа аналогично по умолчанию присваивает индексу значение «0» при пустом поле ввода). Общая формула для расчёта мер сходства с учётом τ и η индексов выглядит следующим образом:

, .

Значение тау-индекса и эта-индекса прописывается в названии матрицы сходства (например, ^ Матрица сходства K(0,-1)) при выводе результата.

Приведём список известных мер сходства3 с соответствующими индексами τ и η:

Название меры

Индекс τ

Индекс η

мера Браун-Бланке (М)

0

– ∞

мера Сёренсена (М)

мера Чекановского (Д)

мера Дайса-Брея (В)

0

– 1

мера Охаи (М)

0

0

мера Кульчинского (М, Д)

0

1

мера Шимкевича-Симпсона (М)

мера Гудолла (В)

0

+ ∞

мера Жаккара (М)

мера Ружечки (Д)

мера Иверсена (В)

мера Райского (И)

1

– 1

мера Сокала-Снита (М)

3

– 1


Вопросы, связанные с эквивалентностью мер различных классов, подробно рассмотрены в соответствующей литературе (см. список рекомендуемой литературы).

Отдельно обратим внимание на меры сходства со значениями η равными (– ∞), 0 и (+ ∞). При вычислении этих мер возникает алгебраическая неопределённость, которая раскрывается следующим образом (при симметризации):

(в программе η вводится как (– inf)),

(в программе η вводится как (+ inf)),

(в программе η вводится как (a) равна (0).



Матрица различия (расстояний) рассчитывается из матрицы сходства по формуле:

,

где F – мера различия; K – мера сходства. Предусмотрен и обратный расчёт матрицы сходства из матрицы различия.


Внимание!

Результат расчёта очередной матрицы представляется на одну строку ниже исходной.

Избегайте наложения матриц.

При необходимости скопируйте полученный результат в другое место.


Примечание: мера пересечения в дескриптивной интерпретации также известна как мера процентного сходства (одна из мер сходства). По этой причине матрицу пересечения также называют матрицей абсолютных мер сходства. Это означает, что матрицу мер пересечения можно также использовать и как матрицу мер сходства (только если мы имеем дело с долями – на диагонали 100 %).

Мера различия, двойственная мере процентного сходства близка хорошо известной мере Хэмминга.

,

где – мера процентного сходства; – мера различия, двойственная мере процентного сходства; – расстояние Хэмминга; ; ; ; ; .
^

Многоместные меры


Во многих биологических науках, особенно в экологии, зачастую приходится иметь дело с n-арными отношениями для определения сходства серии объектов (в литературе встречаются названия «multiple-site similarity measure» (Baselga et al., 2007; Diserud, Ødegaard, 2007), «multidimensional coefficient» (Сёмкин, Горшков, 2009 а), «multiple-community measure» (Chao et al. 2000).

В модуле предусмотрен расчёт компонентов многоместных мер (S, T, n) на основе первичной матрицы наблюдений. На основе этих компонентов можно рассчитать:

  • индекс Коха: ;

  • ;

  • .



Результаты расчёта проявляются в соответствующих текстовых полях. Имеется возможность вывода на лист на месте активной ячейки.
^

Унарные меры


Вкладка «Унарные» позволяет рассчитывать матрицу долей из матрицы значений. В случае расчёта на основе матрицы долей надо заново выделить рассчитанный диапазон с долями. Расчёт мер происходит по строкам. Выбранная мера выводится отдельным правым столбцом после долей (в случае выбора следующей меры происходит замена предыдущих значений).

Возможен расчёт мер параметрических семейств (в текстовом поле задается ):

  • семейство Реньи (Rényi, 1961):

, .

При получаем ; при индекс идентичен формуле Шеннона (; ), при получаем ; при получаем , здесь в знаменателе индекс Бергера-Паркера, который определяется как максимум из всех рассматриваемых долей.



  • семейство Хилла (Hill, 1973), определенной как антилогарифм от :

, .

Приведем примеры для некоторых случаев: ; ; (здесь просматривается индекс Симпсона: ).

  • семейство Колмогорова: .

Дополнительно предусмотрен расчёт мер:

  • абсолютная мера разнообразия: ;

  • относительная мера разнообразия: ;

  • индекс концентрации Бергера-Паркера: ;

  • коэффициент вариации: ;

  • нормированный коэффициент вариации:

  • мера диссонанса Розенберга: .



^

Несимметричные графы


Для определения несимметричных отношений используются матрицы мер включения. Использование любых других матриц является нецелесообразным.




Общая логическая структура данного модуля аналогична структуре модуля «Матрицы». В верхнем левом углу элемент выбора диапазона (матрица включения). В верхнем правом углу поле ввода порога включения в % (0 < δ < 100). Знак % в поле вводить не надо. Выбор диапазона и порога являются обязательными.

Данный модуль предоставляет возможность получить граф включения (ориентированный граф или орграф) и таблицу индексов преобладания (обычно используется в случае большого количества объектов, при значительном снижении наглядности орграфа).

Орграф (в нашем случае – граф включения) строим на основе матрицы включения, предварительно выбрав порог (например,   50%). Далее, просматривая строки матрицы включения, отмечаем все значения, которые превышают пороговую величину. Вершину графа с номером строки соединяем с вершиной графа номера столбца, на пересечении которого и стоит отмеченное число, а стрелка указывает направление включения.

Программа BioComparison строит граф на отдельном листе Рабочей книги MS Excel и присваивает ему имя «Орграф ( %)», где – порог включения. При попытке построения орграфа, порог которого совпадает с порогом уже рассчитанного в данной Рабочей книге орграфа, программа выдаст ошибку.

Вершины полученного орграфа расположены хаотично по полю графика. Соединены вершины с помощью автофигур «Соединительные линии (прямые со стрелкой)», что даёт возможность после построения графа менять его конфигурацию перемещением объектов, т.к. дуги связаны с вершинами. Это сделано для удобства пользователей, т.к. предсказать конечную конфигурацию орграфа не представляется возможным и подобная функция будет здесь весьма удобна. Кроме того, некоторые вершины (при определённом пороге) могут не иметь связей и пользователь (при желании) может удалить их из графа, т.к. вершины также выделяются как отдельные графические объекты. Заметим, что в случае копирования орграфа в MS Word столь активно вносить в него изменения не получится.

Как мы уже говорили выше, в случае большого количества значимых связей (при данном пороге включения) целесообразно рассчитать индексы преобладания полустепеней захода дуг графа над полустепенями исхода дуг для вершины графа. Индекс для вершины A рассчитывается по следующей формуле:

,

где d (A) – индекс «преобладания» вершины A орграфа; d+ (A) – число дуг, входящих в вершину A орграфа; d (A) – число дуг, исходящих из вершины A орграфа; n – число вершин графа. Полученные данные удобно представить в виде таблицы. Например:


Матрица индексов преобладания с порогом 50%



d +

d –

Индекс d

1

2

2

0

2

1

2

- 0,5

3

2

1

0,5



^

Оптимальные графы


Данный блок программы предназначен для реализации ряда алгоритмов оптимизации, связанных с теорией графов. Выбор диапазона данных имеет типовой вид и задается через соответствующий элемент выбора диапазона в верхнем правом углу окна программы. Ниже располагается поле для выбора типа матрицы входных данных (по умолчанию определена матрица различия).





Далее мы продолжим рассмотрение снизу вверх, что соответствует увеличению сложности алгоритмов. Самая нижняя кнопка предназначена для расчёта матрицы транзитивного замыкания по методу Тамуры (Tamura et al., 1971). Для расчёта используется матрица сходства (по умолчанию и матрицу различия задавать не имеет смысла), которая умножается сама на себя. После итерации происходит сравнение первичной матрицы с расчётной и, в случае если вторичная матрица является идемпотентной (самоподобной) первичной матрице, то расчёт закончен и выдается сообщение о том, что пользователь может построить диаграмму Чекановского (алгоритм построения описан в книге: Василевич, 1969).



В противном случае программа предлагает произвести ещё одну итерацию, но надо выбирать каждый раз вторичную матрицу, которая становится теперь первичной.



Ниже приведен примёр расчёта матрицы транзитивного замыкания и дальнейшего её преобразования в диаграмму Чекановского.



Другим реализованным алгоритмом является алгоритм построения оптимального пути. В программе реализована возможность использования в качестве первичных данных на выбор – матрицу сходства или матрицу различия. На основе входной матрицы строится матрица смежности (для неориентированного графа она симметрична, по диагонали стоят 0):

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0


В программе есть возможность вывода указанной матрицы на лист (на одну строку ниже входной матрицы). Матрица смежности является основой для построения графа.

Вершины полученного орграфа расположены хаотично по полю графика. Соединены вершины с помощью автофигур «Соединительные линии (прямые со стрелкой)», что даёт возможность после построения графа менять его конфигурацию перемещением объектов, т.к. дуги связаны с вершинами

^

Список рекомендуемой литературы


Математические методы

  1. Сёмкин Б.И., Горшков М.В. Система аксиом симметричных функций двух переменных и меры, измеряющие отношения сходства различия, совместимости и зависимости для компонентов биоразнообразия // Вестник ТГЭУ. 2008. №4. С. 31-46.

  2. Сёмкин Б.И., Горшков М.В. Аксиоматическое введение мер сходства, различия, совместимости и зависимости для компонентов биоразнообразия в многомерном случае // Вестник КрасГАУ. 2009. № 12. С. 18-24.

  3. Сёмкин Б.И., Орешко А.П., Горшков М.В. Об использовании биоинформационных технологий в сравнительной флористике. I. Схемно-целевой подход. Абсолютные меры сходства и различия // Бюлл. БСИ ДВО РАН [Электронный ресурс] : науч. журн. / БСИ ДВО РАН. – Владивосток: 2009. Вып. 3. С. 102-111. http://www.botsad.ru/journal/number3/02.pdf.

  4. Сёмкин Б.И., Орешко А.П., Горшков М.В. Об использовании биоинформационных технологий в сравнительной флористике. II. Меры включения дескриптивных множеств и их использование // Бюлл. БСИ ДВО РАН [Электронный ресурс] : науч. журн. / БСИ ДВО РАН. – Владивосток, 2009. Вып. 4. С. 58-70. http://www.botsad.ru/journal/number4/number4_58-70.pdf.

  5. Сёмкин Б.И., Орешко А.П., Горшков М.В. Об использовании биоинформационных технологий в сравнительной флористике. III. Меры сходства и различия дескриптивных множеств // Бюлл. БСИ ДВО РАН [Электронный ресурс] : науч. журн. / Ботан. сад-институт ДВО РАН. – Владивосток, 2010. Вып. 6. С. 76-89. http://botsad.ru/journal/number6/76-89.pdf.

  6. Сёмкин Б.И., Горшков М.В. Об оценке сходства и различия в серии флористических и фитоценотических описаний // Комаровские чтения. 2010. Вып. LVII. С. 203-220.

  7. Дюран Б., Оделл П. Кластерный анализ. М.: Статистика. 1977. 128 с.

  8. Кафанов А.И., Борисовец Е.Э., Волвенко И.В. О применении кластерного анализа в биогеографических классификациях // Журн. общ. биол. 2004. Т. 65. №3. С. 250-265.

  9. Харари Ф. Теория графов. Едиториал УРСС. 2003. 296 с.

  10. Оре О. Теория графов. М.: Наука. 1969. 352 с.

  11. Василевич В.И. Статистические методы в геоботанике. Л.: Наука. 1969. 232 с.

  12. Tamura S., Hiquchi S., Tanaka K. Pattern classification based on fuzzy relation // IEEE transaction on systems, man, and cybernetics. 1971. SMC 1. №1. P. 61-67.

  13. Сёмкин Б.И. Дескриптивные множества и их приложения // Исследование систем. I. Анализ сложных систем. Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1973. С. 93-94.

  14. Сёмкин Б.И., Двойченков В.И. Об эквивалентности мер сходства и различия // Исследование систем. I. Анализ сложных систем. Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1973. С. 95-104.

  15. Сёмкин Б.И. Эквивалентность мер близости и иерархическая классификация многомерных данных // Иерархические классификационные построения в географической экологии и систематике. Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1979. С. 97-112.

  16. Сёмкин Б.И., Юрцев Б.А. Изучение конкретных и парциальных флор с помощью математических методов // Бот. журн. 1980. Т. 65. № 12. С. 1706-1718.

  17. Сёмкин Б.И., Куликова Л.С. Методика математического анализа описаний видов насекомых в естественных и культурных биоценозах // Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1981. 75 с.

  18. Песенко Ю.А. Принципы и методы количественного анализа в фаунистических исследованиях. М.: Наука. 1982. 287 с.

  19. Сёмкин Б.И. Теоретико-графовые методы в сравнительной флористике // Теоретические и методологические проблемы сравнительной флористики: Материалы 2-го рабочего совещания по сравнительной флористике. Неринга. 1983. С. 149-163.

  20. Сёмкин Б.И. Количественные показатели для оценки односторонних флористических связей, предложенных Б.А. Юрцевым // Бот. ж. 2007. Т. 92. № 4. С. 114-127.


Примеры использования

  1. Сёмкин Б.И., Селедец В.П., Борзова Л.М., Варченко Л.И., Майоров И.С., Горшков М.В. Методы сравнительного анализа компонентов биоразнообразия ботанических памятников природы // Бот. журнал. 2010. Т. 95. №3. С. 408-421.

  2. Сёмкин Б.И., Клочкова Н.Г., Гусарова И.С., Горшков М.В. Дискретность и континуальность флор водорослей-макрофитов дальневосточных морей России. I. Общий видовой состав // Известия ТИНРО. 2010. Т.160. С. 1-14.

  3. Сёмкин Б.И., Клочкова Н.Г., Гусарова И.С., Горшков М.В. Дискретность и континуальность флор водорослей-макрофитов дальневосточных морей России. II. Зелёные (Chlorophyta), бурые (Phaeophyta), красные (Rhodophyta) // Известия ТИНРО. 2010. Т. 162. С. 104-112.

  4. Сёмкин Б.И., Клочкова Н.Г., Гусарова И.С., Горшков М.В. Дискретность и континуальность флор водорослей-макрофитов дальневосточных морей России. III. Таксономические спектры // Известия ТИНРО. 2010. Т. 163. С. 217-227.

  5. Сёмкин Б.И., Комарова Т.А. Анализ фитоценотических описаний с использованием мер включения (на примере растительных сообществ долины р. Амгуэма на Чукотке) // Бот. журн. 1977. Т. 62. № 1. С. 54-63.

  6. Сёмкин Б.И., Комарова Т.А. Методика использования мер включения при изучении вторичных сукцессий (на примере послепожарных сообществ южного Сихотэ-Алиня) // Владивосток: ТИГ ДВНЦ АН СССР. 1980. 56 с.

  7. Сёмкин Б.И., Максимова В.Ф., Нечаева Н.С. Сравнительный анализ травяного яруса в лесах среднего Сихотэ-Алиня с помощью мер включения // Локальный мониторинг растительного покрова. Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1982. С. 102-110.

  8. Сёмкин Б.И., Пааль Я.Л. Анализ растительности средней тайги при помощи мер включения и сходства // Бот. журн. 1983. Т. 68. № 10. С. 1341-1350.

  9. Сёмкин Б.И., Гусарова И.С. Сравнительный анализ флор макрофитов некоторых районов северной части Тихого океана с использованием теоретико-графовых методов // Бот. журн. 1986. Т. 71. № 6. С. 781-789.

  10. География и мониторинг биоразнообразия // Колл. авторов. М.: Научный и научно-методический центр. 2002. 432 с.

  11. Горшков М.В. Об использовании теоретико-графовых методов для исследования внутригодовой динамики сообществ водорослей-макрофитов // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2011. №6. С. 18-25.


О программном обеспечении

  1. Горшков М.В. Концепция биоинформационной системы «Биоразнообразие» и её использование для оценки компонентов биоразнообразия // Успехи современного естествознания. №11. 2008. С. 61-62.

  2. Горшков М.В. Программа для сравнительного анализа биологических объектов «BioComparison» // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование». №8 (15) август 2010. С. 29. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ofernio.ru/portal/newspaper/ofernio/2010/8.doc




1 Автор: Горшков Михаил Владимирович. Copyright © 2010-2012.

2 Не забудьте изменить настройки безопасности для макросов в MS Excel.

3 Интерпретации: множественная (М), дескриптивная (Д), вероятностная (В), информационная (И).




Похожие:

Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 iconПротокол № ( ) от 200 г. 200 г
Предупредительные меры (меры профилактики) при поступлении угрозы террористического акта по телефону
Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 icon§ 25. Требования и меры безопасности
Прежде чем пользоваться оружием, учащиеся должны усвоить меры безопасности при обращении с ним и требования безопасности при проведении...
Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 iconНекоторые старинные меры длины малые старинные русские меры длины пядь и локоть
До настоящего времени говорят: «Не отдать ни пяди земли», подразумевая не отдать, не уступить даже самой малой части своей земли....
Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 iconПамятка Действия при совершенном теракте
Поэтому необходимо предпринимать все меры для их предотвращения. Однако если террористический акт предотвратить не удалось, то необходимо...
Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 iconКонтрольная работа №1 Вариант 1 Точка d лежит между точками к и М, причем dk = 9 см, мк = 14 см. Вычислите расстояние между: а точками d и М
Прямой угол abc разделен лучом во на два угла. Градусная мера угла аво на 20° меньше градусной меры угла овс. Вычислите градусные...
Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 iconДокументи
1. /meri dlini/меры длины [Режим совместимости].pdf
2. /meri...

Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 iconНекоторые старинные русские меры

Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 iconПрограмма «Комплексные меры противодействия злоупотреблению наркотиками и их незаконному обороту на территории мо чарышский район Алтайского края» на 2009-2013 годы
«Комплексные меры противодействия злоупотреблению наркотиками и их незаконному обороту на территории мо чарышский район Алтайского...
Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 iconЛещи вышли на охоту! Соблюдайте меры предосторожности!

Введение 3 Матрицы 5 Бинарные меры 5 Многоместные меры 9 Унарные меры 10 Несимметричные графы 13 iconМеры обеспечения производства по делу об административном правонарушении

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib2.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы