Механические колебания основные формулы icon

Механические колебания основные формулы



НазваниеМеханические колебания основные формулы
Дата конвертации26.09.2013
Размер116.96 Kb.
ТипДокументы
источник
1. /МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.docМеханические колебания основные формулы

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ


Основные формулы


  • Уравнение гармонических колебаний

х = А cos(ωt + φ),

где х —смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t — время; А, ω, φ — соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; (ωt + φ) — фаза колебаний в момент t.

  • Угловая частота колебаний

ω = 2πv, или ω = 2π/T,

где v и Т — частота и период колебаний.

  • Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

.

  • Ускорение при гармоническом колебании

.

  • Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

,

где A1 и А2 — амплитуды составляющих колебаний; φ1 и φ2 — их начальные фазы.

  • Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

.

  • Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами v1 и v2,

v = v1v2.

  • Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами А1 и А2 и начальными фазами φ1 и φ2,

.

Если начальные фазы φ1 и φ2 составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид

, или ,

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз Δφ = φ1 – φ2 = π/2, уравнение принимает вид

,

т. е. точка движется по эллипсу.

  • Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки

, или ,

где т — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы (k = mω2).

  • Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

.

  • Период колебаний тела, подвешенного па пружине (пружинный маятник),

,

где m — масса тела; k — жесткость пружины.

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

,

где l — длина маятника; g— ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

,

где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний; L = J/(ma) — приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ≈3° ошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

,

где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

  • Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

,

где r — коэффициент сопротивления; δ — коэффициент затухания: δ = r/(2m); ω0 — собственная угловая частота колебаний .

  • Уравнение затухающих колебаний

х = А(t) cos(ωt + φ),

где A(t) — амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω — их угловая частота.

  • Угловая частота затухающих колебаний

.

  • Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

А(t) = A0eδt,

где А0 — амплитуда колебаний в момент t = 0

  • Логарифмический декремент колебаний

,

где А(t) и А(t + T) — амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

  • Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

, или

,

где — внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F0ее амплитудное значение; .

  • Амплитуда вынужденных колебаний

.

  • Резонансная частота и резонансная амплитуда

.


Примеры решения задач


Пример 1. Точка совершает колебания по закону x(t) = Acos(ωt + φ), где A = 2 см. Определить начальную фазу φ, если . Построить векторную диаграмму для момента t = 0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t = 0 через начальную фазу: x(0) = Acosφ.

Отсюда найдем начальную фазу:

.

Подставим в это выражение заданные значения х(0) и А . Значению аргумента удовлетворяют два значения угла:

φ1 = 5π/6 и φ2 = 7π/6.

Для того чтобы решить, какое из этих, значений угла φ удовлетворяет еще и условию x(0)<0, найдем сначала :

.

Подставив в это выражение значение t = 0 и поочередно значения начальных фаз φ1 = 5π/6 и φ2 = 7π/6, найдем

.

Так как всегда A>0 и ω>0, то условию <0 удовлетворяет только первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза φ = 5π/6.

По найденному значению φ построим векторную диаграмму (рис. 1).


Пример 2. Материальная точка массой т = 5 г совершает гармонические колебания с частотой v = 0,5 Гц. Амплитуда колебаний A = 3 см. Определить: 1) скорость υ точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную силу Fmax, действующую на точку; 3) полную энергию Е колеблющейся точки.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

х = А cos(ωt + φ), (1)

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

. (2)

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А2, второе на A2ω2 и сложим:

.

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

.

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

υ = ±8,2 см/с.

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус — когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением

х = А sin(ωt + φ).

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:

F = ma, (3)

где а — ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

, или

.

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

.

Отсюда максимальное значение силы

.

Подставив в это уравнение значения величин π, v, m и А, найдем

.

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия Е колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии Tmax:

. (4)

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив cos(ωt + φ) = 1: υmax = vA. Подставив выражение скорости в формулу (4), найдем

E = 2π2mv2A2.

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления, получим

E = 2·(3,14)2·5·10–3·(0,5)2·(3·10–2)2Дж = 22,1·10–6Дж, или E = 22,1 мкДж.


Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m3 = 400 г укреплены шарики малых размеров массами т1 = 200 г и m2 = 300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

, (1)

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; m — его масса; lC — расстояние от центра масс маятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J1 и J2 и стержня J3:

J = J1 + J2 + J3. (2)

Принимая шарики за материальные точки, выразим моменты их инерции: J1 = m1(l/2)2; J2 = m2(l/2)2. Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси J3 = J3. Подставив полученные выражения J1, J2 и J3 в формулу (2), найдем общий момент инерции физического маятника:

J = m1(l/2)3 + m2(l/2)2 + m2(l/2)2 = 1/12l2(3m1 + 3m2 + m3).

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

J = 0,158 кг·м2.

Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:

m = m1 + m2 + m3 = 0,9 кг.

Расстояние lС центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое расстояние l равно координате центра масс маятника, т. е.

, или

.

Подставив значения величин m1, m2, m, l и произведя вычисления, найдем

lC = 5,55 см.

Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:

.


Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l = 1 м и массой 3т1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d = 1/2l и массой т1. Горизонтальная ось Оz маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле

, (1)

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; m — его масса; lС — расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J1 и обруча J2:

J = J1 + J2. (2)

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по формуле J1 = 1/12ml2. В данном случае m = 3m1 и

J1 = 1/4m1l2.

Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера J = J0 + ma2, где J — момент инерции относительно произвольной оси; J0 — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; а — расстояние между указанными осями. Применив эту формулу к обручу, получим

J2 = m1(l/4)2 + m1(3l/4)2 = 5/8m1l2.

Подставив выражения J1 и J2 в формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:

J = 1/4m1l2 + 5/8m1l2 = 7/8m1l2.

Расстояние lC от оси маятника до его центра масс равно

, или

.

Подставив в формулу (1) выражения J, lС и массы маятника (m = 3m1 + m1 = 4m1), найдем период его колебаний:

.

После вычисления по этой формуле получим

T = 2,17 с.


Пример 5. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями х1 = А1 cos ω (t + τ1); х2 = А2 cos ω (t + τ2), где А1 = 1 см, A2 = 2 см, τ1 = 1/6 с, τ2 = 1/2 с, ω = π с–1. 1. Определить начальные фазы φ1 и φ2 составляющих колебаний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

х = А cos(ωt + φ).

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

х1 = А1 cos (ωt + ωτ1), х2 = А2 cos (ωt + ωτ2). (2)

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

φ1 = ωτ1 = π/6 рад и φ2 = ωτ2 = π/2 рад.

2. Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 4. Согласно теореме косинусов, получим

, (3)

где Δφ — разность фаз составляющих колебаний. Так как Δφ = φ2 – φ1 то, подставляя найденные значения φ2 и φ1, получим Δφ = π/З рад.

Подставим значения А1, А2 и Δφ в формулу (3) и произведем вычисления:

А = 2,65 см.

Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания определим непосредственно из рис. 4: , откуда начальная фаза

.

Подставим значения A1, A2, φ1, φ2 и произведем вычисления:

.

Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде х = А cos(ωt + φ), где А = 2,65 см, ω = π с–1, φ = 0,394 π рад.


Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых

х = А1 cosωt, (1)

, (2)

где A1 = 1 см, A2 = 2 см, ω = π с–1. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого воспользуемся формулой . В данном случае α = ωt, поэтому

.

Так как согласно формуле (1) cos ωt = x/A1, то уравнение траектории

. (3)

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от – 1 до + 1 см по оси Ох и от 2 до + 2 см по оси Оу.

Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию ׀x׀ ≤ 1 см, и составим таблицу:


x, см

у, см

– 1

0

– 0,75

± 0,707

– 0,5

± 1

0

± 1,41

+ 0,5

± 1,73

+ 1

± 2




Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плоскость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колебания в соответствии с уравнениями движения (1) и (2) (рис. 5).

Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как изменяется ее положение с течением времени. В начальный момент t = 0 координаты точки равны х(0) = 1 см и у(0) = 2 см. В последующий момент времени, например при t1 = 1 с, координаты точек изменятся и станут равными х (1)= – 1 см, y(t) = 0. Зная положения точек в начальный и последующий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 5 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в момент t2 = 2 с колеблющаяся точка достигнет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.




Похожие:

Механические колебания основные формулы iconМеханические колебания и волны Основные понятия
Свободные колебания-колебания происходящие без внешних воздействий после того, как тело вывели из положения равновесия
Механические колебания основные формулы iconМеханические и электромагнитные колебания
На рисунке 1 представлен график зависимости от времени координаты х тела, совершающего гармонические колебания вдоль оси Ох. Чему...
Механические колебания основные формулы iconМеханические и электромагнитные колебания
На рисунке 1 представлен график зависимости от времени координаты х тела, совершающего гармонические колебания вдоль оси Ох. Чему...
Механические колебания основные формулы iconДокументи
1. /5. Механические колебания.doc
Механические колебания основные формулы iconМеханические колебания
Нарисовать графики зависимости скорости и ускорения колеблющейся от смещения от положения равновесия
Механические колебания основные формулы iconСпецификации контрольно-измерительных материалов для проведения в 2012 году государственной (итоговой) аттестации обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы основного общего образования
Формулы корней квадратного уравнения, разложения на множители квадратного трехчлена, формулы n-го члена и суммы n первых членов арифметической...
Механические колебания основные формулы icon«Механические колебания и волны»
Самостоятельно изучить информацию в учебнике п. 22 (стр. 128, до задачи №1) решить №782 (Устно), 775, 781(б) 777(г)
Механические колебания основные формулы iconПрезентация по физике тема : «Механические колебания и волны»
А это максимальное расстояние, на которое удаляется колеблющееся тело от своего положения равновесия. Амплитуда колебаний измеряется...
Механические колебания основные формулы iconЭлектрические колебания. Колебательный контур. Свободные колебания Формула Томпсона
Свободные затухающие колебания. Характеристики затухающих колебаний. Апериодическое затухание
Механические колебания основные формулы iconСамостоятельная работа №10 по теме: «Механические колебания» Определите период и частоту колебаний материальной точки, совершившей 50 полных колебаний за 20 секунд
Материальная точка колеблется с частотой 20 кГц. Определите период колебаний и число колебаний, совершаемых за 1 минуту
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib2.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы