Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c icon

Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c



НазваниеРешение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c
Дата конвертации21.10.2012
Размер23.38 Kb.
ТипРешение
источник

Математика


9 класс.


1. Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a2 + b2 + c2 = d2. Доказать, что число abc делится на 4. ( 6 баллов)

Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток 1. Если числа a, b, c — нечетные, то d2 должен давать при делении на 4 остаток 3, что невозможно.Если среди чисел a, b, c два нечетных и одно четное, то d2 должен давать при делении на 4 остаток 2, что также невозможно.Значит, среди чисел a, b, c есть два четных числа, откуда произведение abc делится на 4.Такое возможно, например, 32 + 42 + 122 = 132.

2. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие равное число знакомых в этой компании (если A знаком с B, то и B знаком с A). ( 6 баллов)


Решение. Пусть в компании k человек. Тогда каждый человек может иметь от нуля до (k – 1) знакомых.Предположим противное: количество знакомых у всех разное. Тогда найдется человек без знакомых, найдется человек с одним знакомым, и так далее, наконец, найдется человек, у которого (k – 1) знакомых. Но тогда этот последний знаком со всеми, в том числе и с первым. Но тогда у первого не может быть ноль знакомых. Получили противоречие.

3.Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа? ( 6 баллов)

Решение. Ответ: можно.

Например,



4. Доказать, что для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство

+ . (6 баллов)

Р е ш е н и е. Сделаем замену x = b1/15, y = a1/10. Тогда доказываемое неравенство приобретает вид

2y5 + 3x5  5y2x3.

Деля на y5 и обозначая t = x / y, получаем 3t 5 – 5t 3 + 2  0. Разложим левую часть на множители. Последовательно получаем

f(t) = (3t 5 – 3t 3) – (2t 3 – 2)  0,

3t 3(t 2 – 1) – 2(t – 1)(t 2 + t + 1)  0,

(t – 1)(3t 3(t + 1) – 2(t 2 + t + 1))  0,

(t – 1)(3t 4 + 3t 3 – 2t 2 – 2t – 2)  0,

(t – 1)((2t 4 – 2t 2) + (t 4t) + (t 3t) + (2t 3 – 2))  0

(t – 1)(2t 2(t 2 – 1) + t(t 3 – 1) + t(t 2 – 1) + 2(t 3 – 1))  0,

(t – 1)2(2t 2(t + 1) + t(t 2 + t + 1) + t(t + 1) + 2(t 2 + t + 1))  0,

(t – 1)2(3t 3 + 6t 2 + 4t + 2)  0.

Для t > 0 выражение в первой скобке  0, во второй скобке > 0. В итоге, f(t)  0 для всех t > 0. Равенство нулю достигается лишь при t = 1, т.е. при x = y, т.е. при a3 = b2. 

5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL. (6 баллов)

Р е ш е н и е.



Имеем SADK = SALK, так как они имеют общее основание AK и равные высоты, совпадающие с расстоянием между параллельными прямыми AB и DC. SADE = SADKSAEK = SALKSAEK = SKLE. Аналогично, SBCF = SKLF. Таким образом, сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL. 




Похожие:

Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c iconРешение Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток 1
Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a2 + b2 + c2 = доказать, что число abc делится на 4
Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c icon1. Найдите остаток от деления числа 437 на 11. Запишите в виде обыкновенной дроби 0,21(8)
Докажите, что если натуральное число не делится на 3, то его квадрат, уменьшенный на 1, делится на 3
Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c iconФормулы сокращенного умножения
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа и второго и плюс квадрат второго...
Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c iconЗадачи для срс 3Б курс
...
Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c iconМагические квадраты Что такое «магический квадрат»?
Различают маги­ческие квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа,...
Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c iconПростые числа Натуральные числа можно поделить на простые и составные числа
Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя
Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c iconРешение и ответы задач для самостоятельной работы
Так как квадрат нечетного числа всегда является нечетным числом, то первое слагаемое в данной разности нечетно, а вычтя из нее единицу,...
Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c iconКвадрат и куб числа 5класс
Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо
Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c iconПравила по математике для 1 класса Числа записывают с помощью цифр. Цифра это знак для записи числа. 4=4 Это равенство и читается так: "четыре равно четырем". 9>6 6
Числа, которые получают при счете предметов, называются натуральные числа. Число 0 не натуральное
Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c iconРешение. Преобразовав данное уравнение, получим: 3 x
Значит, целые числа (x – y), (y – z), (z – x) — делители числа 10, сумма этих делителей равна нулю. Не трудно убедиться, что таких...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib2.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы