5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения icon

5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения



Название5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения
Дата конвертации21.10.2012
Размер38.28 Kb.
ТипРешение
источник

9 класс

Условия заданий. Продолжительность 2 часа.


  1. Постройте эскиз графика функции: .



  1. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни одного знака?



3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?


  1. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?( щука может быть в некоторый момент сытой, но потом съеденной)


5. Пусть х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19.


Ответы и решения.

1. Постройте эскиз графика функции: .

Решение.

Нетрудно понять, что после извлечения корня . График данной функции является ломаной, и состоит из луча, отрезка и луча. Для каждого из них нужно знать координаты двух точек на плоскости. Составим таблицу: . По точкам графика ломаной восстановим ее график:



^ Заметим, что график данной функции традиционно строится и методом интервалов.

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни одного знака?

^ Ответ: .

Решение. По теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения, если его дискриминант неотрицателен, равно . Поэтому имеем систему условий:

Тогда: . Отсюда .

3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?

^ Ответ: 9:8, считая от основания.

Решение. Проведем отрезок DF, параллельный высоте АЕ. По теореме Фалеса, он разделит отрезок BE пополам. По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника АВС равна 5 см. Кроме этого , и . Отсюда: . Отсюда . То есть ВЕ=3,2, FE=1,6, EC=1,8. Из параллельности отрезков DF и GE следует, что .

4. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?( щука может быть в некоторый момент сытой, но потом съеденной)

^ Ответ. 9 щук.

Решение. 10 сытых щук быть не может, так как каждая из них съест хотя бы по три щуки и еще последняя останется живой. То есть щук было хотя бы 31. Пример на 9 щук строится просто: первая съела три других, следующая съела ее и две других, и т. д

5. Пусть х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19.

Доказательство. Попробуем представить Отсюда:

Отсюда, . Все.


Возможные критерии оценок

  1. Каждая задача оценивается по семибальной шкале, независимо от степени сложности задачи.

Максимальная сумма баллов в этой олимпиаде  35.

^ Напоминаем, что проверка каждого задания олимпиадной работы состоит из двух частей: педагог при прочтении решения школьника данного задания вначале должен принять экспертное решение: решена задача (возможно с ошибками) или же нет. В первом случае меньше 4-х баллов не ставится, во втором случае, как бы много не написано школьником, больше 3-х баллов не ставится.

Только правильный ответ оценивается максимум в 1 балл, если вариантов ответов больше чем два!

По задачам:

1 задача. Только правильный график без обоснования построения  3 балла.

Правильное обоснование графика с неверным рисунком  1-2 балла.

Все вместе  7 баллов.

2 задача. Правильно составленная система условий, правильно решенная  7 баллов.

Забыто одно любое из условий (дискриминант или вторая часть теоремы Виета)  ставятся не более 1-2 баллов.

3 задача. Как правило, в геометрических задачах с единственно возможным чертежом, ставятся или 7 или 0 баллов. В нашем случае нереализованная идея применения теоремы Фалеса  1 балл, нахождение отрезков гипотенузы еще 1-2 балла.

4 задача. Классическая задача на оценку и пример. Если только доказано, что не более 10 щук  3 балла, если дан правильный ответ и приведен правильный алгоритм поедания (могут быть разными), но не доказано, что больше 10 щук не может  3 балла. Все вместе  7 баллов. Только правильный ответ  1 балл.

5 задача. Проверка на правильность свойства с помощью перебора нескольких чисел  0 баллов! Только полное решение 7 баллов. Остальное  0. Заметим, что приведенное решение не единственное. Также возможны рассуждения связанные с остатками при делении, или применение ММИ. Но там получить правильное решение проблематично.

Заметим в конце, что наши дети часто думают не так, как думают взрослые. Их решения могут отличаться от представленных здесь. Поэтому старайтесь разбирать во всем, что напишут дети, и не стесняйтесь консультироваться с коллегами по проверке.




Похожие:

5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения iconРешение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток Если числа a, b, c
Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a2 + b2 + c2 = доказать, что число abc делится на ( 6 баллов)
5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения iconРешение Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток 1
Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a2 + b2 + c2 = доказать, что число abc делится на 4
5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения icon1. Найдите остаток от деления числа 437 на 11. Запишите в виде обыкновенной дроби 0,21(8)
Докажите, что если натуральное число не делится на 3, то его квадрат, уменьшенный на 1, делится на 3
5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения iconНа 2: Если последняя цифра числа делится на 2, то число делится на 2

5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения iconТема Делимость чисел
Свойства делимости зависят от того, какие множества чисел рассматривают. Если рассматривают только целые положительные (натуральные)...
5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения iconКонтрольная работа по математике в шестом классе состояла из задачи, уравнения и числового примера. Работу писали 36 учеников. Правильно решили только задачу 2 человека,
Не выполняя деления, докажите, что значение выражения 35 · 125 + 28 · 125 + 63 · 554 делится на 679
5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения iconПростые числа Натуральные числа можно поделить на простые и составные числа
Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя
5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения iconТема: бактерии 1 вариант А. Выберите все правильные ответы
Подсчитайте, какое количество бактерий может образоваться из одной бактерии за 5 часов, если известно, что при благопри­ятных условиях...
5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения iconРешение. Преобразовав данное уравнение, получим: 3 x
Значит, целые числа (x – y), (y – z), (z – x) — делители числа 10, сумма этих делителей равна нулю. Не трудно убедиться, что таких...
5. Пусть Х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19. Ответы и решения iconПризнак делимости на 2 Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной. Признак делимости на 3
При́знак дели́мости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib2.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы