Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике icon

Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике



НазваниеРекомендации по примерному оцениванию заданий по математике
Дата конвертации03.02.2013
Размер224.1 Kb.
ТипРешение
источник
1. /Математика/Математика/математика ключи.doc
2. /Математика/Математика/математика тексты.doc
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике
Министерство образования хабаровского края

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИМЕРНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ

ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД



Настоящие рекомендации адресованы членам комиссий по проверке заданий муниципальной олимпиады по математике. В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается в 7 баллов. При выполнении этих заданий от учащихся требуется записать решение с полным обоснованием всех шагов.

Необходимо учитывать, что задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор одного из случаев методом, позволяющим решить задачу в целом, доказательство леммы, используемой в одном из доказательств, нахождение примера или доказательства оценки в задачах типа «оценка + пример» и т. п.). Наконец, возможны как существенные, так и не влияющие на логику рассуждений логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать все выше перечисленное.

Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное или отличается от других решений, известных жюри. Исправления в работе (зачеркивания ранее написанного текста) не являются основанием для снятия баллов.

Нестандартное верное решение любого задания оценивается максимальным количеством баллов.


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ



6 класс


6.1. Ответ: 19; 18+1; 17+2; …, 10+9


6.2. Ответ: 125 рублей.

Решение:

Пусть n – исходное число посетителей, x – новая цена билета. Составим уравнение для сбора денег:

x · 1,5 n = 150n · 1,25


6.3.

Решение:

В квадрате ABCD на стороне BC возьмем точку E ближе к B, чем к C. Пусть F – середина BE, G – середина EC, тогда из частей ABF, AFGD и DGC можно составить нужный треугольник.


6.4. Ответ: 8 акций «М» и «ММ».

Решение:

Заплатим сначала за каждую акцию по 13 тыс., а затем добавим за акции «ММ» по 2 тыс. По 13 тыс. можно заплатить 18 раз и еще по 5 тыс. останется, но остаться должно четное число, поэтому по 13 тыс. надо заплатить 17 раз и оставить 18 тыс., тогда можно 9 раз добавить по 2 тыс. Ответ единственный, поскольку любое четное число в остатке будет не меньше 18 + 26 = 34, а тогда акций «ММ» будет не меньше 17, но денег для этого мало.


6.5. Ответ: Олег, Юра, Володя, Миша, Саша

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИМЕРНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ

ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД



6 класс


Задача 6.1. Ответ: 19; 18+1; 17+2; …, 10+9

7 баллов – правильный ответ с полным логическим обоснованием.

6-7 баллов – решение в целом верное, но допущены недочеты, существенно не влияющие на логику рассуждений.

4-5 баллов – правильный ответ, но рассуждения неполные или верно проведены рассуждения, но допущена ошибка в записи ответа.

2-3 балла – при верном ходе рассуждения допущена существенная ошибка.

1 балл – верно найдена только одна пара чисел, полное обоснование отсутствует.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задача 6.2. Ответ: 125 рублей.

7 баллов – правильный ответ и верное решение с полным логическим обоснованием шагов.

6-7 баллов - при верном ходе рассуждения имеются небольшие недочеты, не влияющие на логику рассуждений.

5-6 баллов – решение в целом верное, но допущены небольшие ошибки или ответ получен, но обоснование неполное.

3-4 балла – верно использовано правило или составлено уравнение, но рассмотрен лишь один случай или решение не доведено до конца.

1-2 балла – получен ответ без обоснования либо решение неверное, но есть отдельные верные рассуждения.

0 баллов – решение полностью неверное, продвижения отсутствуют или решения нет.


Задача 6.3

7 баллов – задача решена правильно, получен искомый остроугольный треугольник, включающий три части данного квадрата.

5-6 баллов – решение в целом верное, но допущены несущественные неточности.

2-4 балла – ход решения верен, но допущены ошибки, либо решение не закончено.

1 балл – были предприняты попытки получить искомый треугольник, в рассуждениях есть здравый смысл.

0 баллов – получить нужный треугольник не удалось.


Задача 6.4. Ответ: 8 акций «М» и «ММ».

7 баллов – получен правильный ответ при полном обосновании решения.

6 – 7 баллов – решение верное, правильный ответ, но имеются небольшие недочеты, не влияющие на логику рассуждений.

5-6 баллов – решение в целом верное, обоснована четность или нечетность суммы получаемых чисел на каждом шаге, но в логике рассуждений допущены ошибки.

4 балла – проведены верные рассуждения, но допущены существенные ошибки.

2-3 балла – в рассуждениях содержатся здравые мысли, но не подкрепляются логическими выводами; задача решена не до конца.

1 балл – правильный ответ, но отсутствует обоснование или только приведен пример.

0 баллов – решение неверное или отсутствует


Задача 6.5. Ответ: Олег, Юра, Володя, Миша, Саша

7 баллов – верный ответ и верные рассуждения.

5-6 баллов – верный ответ, при получении которого произведен неполный перебор всех возможных случаев.

3–4 балла – при верном ходе решения допущена негрубая ошибка.

2 балла – решение верное, но не доведено до конца.

1 балл – ответ получен подбором без обоснований.

0 баллов - решение неверное или отсутствует.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ




7 класс


7.1. Ответ: 2951 : 13 = 227


7.2. Ответ: 14 ног у дракона

Решение:

Пусть x – число сороконожек, y – число драконов. Тогда x + +3y = 26; 40x ≤ 298. Отсюда x ≤ 7. Так как 26 – x делится на 3, то x = 2 или x = 5. Проверка показывает, что x = 5, y = 7. Число ног дракона (298 – 40 ∙ 5) : 7 = 14.


7.3.

Решение: Обозначим трехзначное число xyz, число единиц в нем равно 100x + 10y + z. Если цифры записать в обратном порядке, то получим zyx, число единиц во вновь полученном числе будет 100x + 10 y + x. Разность равна 100x + 10y + z – 100z – 10y – x – 99x – 99z = 99(x – z).

Это число делится на 9.


7.4. Ответ: не всякий

Идея решения. Пусть прямоугольник очень длинный и тонкий, тогда части будут достаточно длинные, значит квадрат будет достаточно большой, но площадь квадрата должна быть равна площади прямоугольника.

Решение:

Возьмем, например, прямоугольник со сторонами 10000 и 1∕10000. площадь его равна 1. Отметим на одной из его длинных сторон 2001 точку с шагом 5.




Предположим, что этот прямоугольник удалось разрезать на 1999 частей, из которых можно сложить квадрат. Тогда площадь этого квадрата должна быть равна 1. А значит и его сторона равна 1. С другой стороны, заметим, что так как частей, на которые был разбит прямоугольник, – 1999, а мы отметили 2001 точку, то какие-то две точки окажутся в одной части разбиения. Значит, в этой части будут точки на расстоянии не меньше 5. А в квадрате со стороной 1 таких точек нет. Противоречие. Таким образом искомое разрезание невозможно.

7.5. Аня в белом платье, Валя – в голубом, Галя – в зеленом, Надя – в розовом.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИМЕРНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ

ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД


7 класс


Задача 7.1. Ответ: 2951 : 13 = 227

7 баллов – правильный ответ с полным логическим обоснованием.

6-7 баллов – решение в целом верное, но допущены недочеты, существенно не влияющие на логику рассуждений.

4-5 баллов – правильный ответ, но рассуждения

неполные или верно проведены рассуждения, но допущена ошибка в записи ответа.

2-3 балла – при верном ходе рассуждения допущена существенная ошибка.

1 балл – верно найдена только одна пара чисел, полное обоснование отсутствует.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задача 7.2. Ответ: 14 ног у дракона

7 баллов – правильный ответ и верное решение с полным логическим обоснованием шагов.

6-7 баллов - при верном ходе рассуждения имеются небольшие недочеты, не влияющие на логику рассуждений.

5-6 баллов – решение в целом верное, но допущены небольшие ошибки или ответ получен, но обоснование неполное.

3-4 балла – верно использовано правило или составлено уравнение, но рассмотрен лишь один случай или решение не доведено до конца.

1-2 балла – получен ответ без обоснования либо решение неверное, но есть отдельные верные рассуждения.

0 баллов – решение полностью неверное, продвижения отсутствуют или решения нет.


Задача 7.3

7 баллов – четкое и полное доказательство с опорой на теорию (свойства делимости чисел).

6 – 7 баллов – решение верное, правильный ответ, но имеются небольшие недочеты, не влияющие на логику рассуждений.

5-6 баллов – решение в целом верное, но в логике рассуждений допущены ошибки.

4 балла – проведены верные рассуждения, но допущены существенные ошибки.

2-3 балла – в рассуждениях содержатся здравые мысли, но не подкрепляются логическими выводами; задача решена не до конца.

1 балл – правильный ответ, но отсутствует обоснование или только приведен пример.

0 баллов – решение неверное или отсутствует


Задача 7.4. Ответ: не всякий

7 баллов – правильное логически обоснованное решение.

6 – 7 баллов – решение верное, но имеются небольшие недочеты, не влияющие на логику рассуждений.

5-6 баллов – решение в целом верное, но в логике рассуждений допущены ошибки.

4 балла – проведены верные рассуждения, но допущены существенные ошибки.

2-3 балла – в рассуждениях содержатся здравые мысли, но не подкрепляются логическими выводами; задача решена не до конца (возможно представлен только чертеж или схема решения).

1 балл – рассмотрен частный случай

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

Задача 7.5. Ответ: Аня в белом платье, Валя – в голубом, Галя – в зеленом, Надя – в розовом.

7 баллов – верный ответ и верные рассуждения.

5-6 баллов – верный ответ, при получении которого произведен неполный перебор всех возможных случаев.

3–4 балла – при верном ходе решения допущена негрубая ошибка.

2 балла – решение верное, но не доведено до конца.

1 балл – ответ получен подбором без обоснований.

0 баллов - решение неверное или отсутствует.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ



8 класс

8.1.

Решение:

Теннис → 942 250, т : е = н, нис ? 9 : 4 = 2,250.

Или теннис → 981 125, 9 : 8 = 1, 125


8.2. Ответ: долететь с Марса до Земли нельзя.

Решение:

Нарисуем схему: планетам будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам – непересекающиеся между собой линии.



Полученный рисунок представляет собой граф, соответствующий условию задачи. Видно, что все планеты солнечной системы разделились на две не связанные между собой группы. Земля принадлежит одной группе, А Марс – второй. Долететь с Земли до Марса нельзя.


8.3.

Решение:

Имеем AB = BC, поэтому BAC = BCA, ABE = 90°– EBD, CBD = 90°–EBD


Отсюда ABE = CBD.

Имеем: AB = BC, BAC = BCA,

ABE = CBD.

Значит, ∆ABE = ∆BCD


8.4. Ответ: x = 4; y = 29 или x = 28; y = 14

Решение:

Так как x2 + 2xy + 2y2 + 2y = (x + y)2 + (y + 1)2 – 1, то (x + +y)2 + (y + 1)2 = 1989.

Число 1989 кратно 3. Отсюда легко получаем, что x + y и

y + 1 кратны 3; то есть x + y = 3k, y + 1 = 3l, k≥ l. Поэтому,

k2+l2= 221, 221∕2 < k2 221, 11≤ k ≤ 14 и возможные значения k2 – это 121, 144, 169, 196. Отсюда легко получаем, что k = 11, l= 10 либо k = 14, l= 5, то есть x = 4, y = 29 либо x = 28, y = 14.


8.5. Ответ: 1 и 4 года

Решение:

Сыновьям не больше 6 лет. Сообщение о старшем сыне исключает вариант, когда возрасты равны. Но если возрасты могли быть равны, то произведение лет является квадратом. Поэтому все варианты можно записать в виде

(n ∕ k, kn), где 2 ≤ k ≤ n, 2≤ kn ≤ 6. Отсюда k = 2, n = 2.


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИМЕРНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ

ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД


8 класс


Задача 8.1. Ответ: 942250, т : е = н, нис; 9 : 4 = 2, 250

или 981125, 9 : 8 = 1, 125

7 баллов – получен верный ответ, решение логически обоснованно.

6 баллов – верный ответ при получении, которого произведен неполный перебор всех возможных случаев.

5-6 баллов – решение в целом верное, выполнена проверка шагов действий, но в решении допущены ошибки, не влияющие на логику рассуждений.

2-4 балла – в логике рассуждений имеется смысл, но решение не доведено до конца.

1 балл – приведен пример, но нет обоснований.

0 баллов – решение полностью неверное, продвижения отсутствуют или решения нет.


Задача 8.2 Ответ: долететь с Марса до Земли нельзя.

7 балла – получен верный ответ с полным обоснованием этапов решения с опорой на теорию (теория графов).

6-7 баллов – полное и правильное решение, но допущены недочеты, в целом не влияющие на решение.

5-6 баллов – решение в целом верное, на схемах изображены точки, соответствующие планетам, соединенные маршрутными линиями, но допущена негрубая ошибка.

3-4 балла – в рассуждениях есть здравый смысл, но допущены ошибки, не влияющие на логику рассуждений или верное решение, но рассуждения неполные, отрывочные.

1-2 балла – приведен пример, но нет обоснований.

0 баллов – решение полностью неверное, продвижения отсутствуют или решения нет.


Задача 8.3

7 баллов – четкое и полное доказательство с опорой на теорию (признаки равенства треугольников).

6 баллов – решение в целом верное, но нерациональное, есть «лишние» построения, при рассуждениях допущены неточности.

5 баллов – выполнен чертеж, в решении есть здравый смысл, но имеется нечеткость в логике рассуждений.

2-4 балла – допущены неточности при построении чертежа, но приведено неполное доказательство (с ссылкой на теорию).

1 балл – выполнен чертеж, но доказательство не закончено.

0 баллов – грубая ошибка в логике рассуждений либо решение отсутствует.


Задача 8.4. Ответ: x = 4; y = 29 или x = 28; y = 14

7 баллов – получен правильный ответ с полным обоснованием всех шагов решения с опорой на теорию (выделение полного квадрата, свойства делимости чисел).

6-7 баллов – верный ответ при правильном и логически обоснованном решении, но в рассуждениях имеются недочеты.

5-6 баллов – в целом верное решение, но найдены не все пары точек.

2-4 балла – в рассуждениях есть здравый смысл, сделана проверка, но допущены негрубые ошибки либо решение не доведено до конца.

1 балл – найдено лишь одна пара точек, нет обоснования либо в решении допущены грубые ошибки.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задача 8.5. Ответ: 1 и 4 года

7 баллов – получен правильный ответ с полным обоснованием всех шагов решения.

6-7 баллов – полное и правильное решение, но имеются несущественные неточности, не влияющие на ход решения.

5-6 баллов – задача решена, но произведен неполный перебор всех возможных случаев, выводы не сделаны.

2-4 балла – в рассуждениях имеется здравый смысл, но допущены ошибки либо задача не доведена до конца.

1 балл – получен ответ без обоснования или рассмотрен частный случай.

0 баллов – решение неверное, нарушена логика рассуждений либо решение отсутствует.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ



9 класс


9.1. Ответ: нет

Решение:

Перемножая все 50 произведений, мы получим 1, поскольку в каждое из произведений любое число войдет 2 раза. Тогда в число 50 сомножителей будет входить четное число произведений с «–1», а поэтому сумма четного числа произведений с «1» и четного числа произведений с «–1» не будет равна нулю (25 – число нечетное, значит, одинакового числа слагаемых не будет).

9.2. Ответ: 3 км / ч

Решение:

Обозначим скорость гребца в стоячей воде u (км/ч), скорость Невы – v (км/ч).

Тогда = 3(км/ч)

9.3.

Решение:

∆BEC и ∆ADC – прямоугольные, и угол C у них общий, поэтому они подобны, и cos C. В треугольниках ABC и DEC две стороны пропорциональны, и угол C между ними общий, поэтому они подобны: ∆ABC ~∆DEC, причем с коэффициентом cos C.


B

Можно рассуждать иначе. Около четырехугольника AEDB можно описать окружность, поскольку AEB = ADB=90° (AB – ее диаметр). Тогда EAB + EDB = 180°, откуда EAB = CDE, поскольку углы EDB и CDB – смежные и тоже дают в сумме 180°. Аналогично, DBA =CED. Поэтому ∆ABC ~ ∆DEC


9.4. Ответ: 1

Решение:

По теореме Виета A + B = 1; AB = q. Поэтому: A3 + B3 + +3(A3B+AB3) + 6(A3B2 + A2B3) = ((A + B)3–3AB(A + B)) + +3AB((A + B)2–2AB) + 6(AB)2(A + B) = 1– 3q + 3q(1 – 2q) + +6q2 = 1


9.5. Ответ: 134 способа

Решение:

Можно купить либо по экземпляру каждого романа, либо том, содержащий два романа и экземпляр третьего романа. По правилам суммы и произведения получаем:

6 ∙ 3 ∙ 4 + 5 ∙ 4 + 7 ∙ 6 = 134 (способа)


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИМЕРНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ

ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД


9 класс


Задача 9.1. Ответ: нет

7 баллов – получен правильный ответ при полном обосновании решения.

6 – 7 баллов – решение верное, правильный ответ, но имеются небольшие недочеты, не влияющие на логику рассуждений.

5-6 баллов – решение в целом верное, обоснована четность или нечетность суммы получаемых чисел на каждом шаге, но в логике рассуждений допущены ошибки.

4 балла – проведены верные рассуждения, но допущены существенные ошибки.

2-3 балла – в рассуждениях содержатся здравые мысли, но не подкрепляются логическими выводами; задача решена не до конца.

1 балл – правильный ответ, но отсутствует обоснование или только приведен пример.

0 баллов – решение неверное или отсутствует

Задача 9.2. Ответ: 3 км / ч

7 баллов – правильный ответ и верное решение с полным логическим обоснованием шагов.

6-7 баллов - при верном ходе рассуждения имеются небольшие недочеты, не влияющие на логику рассуждений.

5-6 баллов – решение в целом верное, но допущены небольшие ошибки или ответ получен, но обоснование неполное.

3-4 балла – верно использовано правило или составлено уравнение, но рассмотрен лишь один случай или решение не доведено до конца.

1-2 балла – получен ответ без обоснования либо решение неверное, но есть отдельные верные рассуждения.

0 баллов – решение полностью неверное, продвижения отсутствуют или решения нет.


Задача 9.3.

7 баллов – получен правильный ответ с полным логическим обоснованием решения с опорой на теорию (свойство и признаки подобных треугольников), сделаны выводы.

6-7 баллов – решение верное, но имеются недочеты в логике рассуждений.

4-5 баллов – есть здравый смысл в рассуждениях, выполнен чертеж, использовано свойство подобных треугольников, но в решении допущены ошибки или отсутствуют выводы.

2-3 баллов – возможно, значительная часть решения имеет смысл, но задача решена не до конца.

1 балл - рассмотрены только частные случаи.

0 баллов - решение неверное или отсутствует.


Задача 9.4 Ответ: 1

7 баллов – получен правильный ответ при полном обосновании решения.

6-7 баллов – верное решение, использована теорема Виета, сделаны выводы, но имеются небольшие недочеты, не влияющие на ход рассуждений.

4-5 баллов – в рассуждениях имеется здравый смысл, но допущены ошибки в преобразовании выражения.

1-3 балла – выполнена значительная часть задания, в рассуждениях имеется здравый смысл, но решение не закончено.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задача 9.5. Ответ: 134 способа

7 баллов - полное верное решение, приводящее к правильному ответу.

6-7 баллов – получен правильный ответ, решение логически обоснованно, но допущены неточности, не влияющие на решение.

5-6 баллов – решение в целом верное, использованы правила суммы и произведения, но решение содержит негрубые ошибки, неточности в рассуждениях.

3-4 балла - выполнена значительная часть задания, в рассуждениях имеется здравый смысл, но решение не закончено.

1 -2 балла - рассмотрены только частные случаи.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ



10 класс


10.1.

Решение:

Не уменьшая общности, можно считать, что a < b 0; f(b) = (b – a)(b – c) < 0;

f(c) = (a – c)(b– c) > 0, т. е. f(x) – квадратичная функция, принимающая значения разного знака, а значит, имеющая действительные корни x1 и x2.

Более того, a < x1 < b < x2 < c.


10.2.

Решение:

Докажем, что если число A = ABC : 37, то и число B = BCA также делится на 37.

Имеем: A = 100a + 10b + c = 37k, отсюда c = 37k – 100a – 10b. Тогда B = 100b + 10c + a = 100b + 10(37k – 100a – 10b) + a = (370k – 999a): 37.


10.3. Ответ: 71°; 47°; 62°

Решение:


O – центр вписанной в ∆ ABC окружности, а значит и точка пересечения биссектрис

∆ ABC;

A1, B1, C1 – точки касания.

Пусть A, C, B.

=19°; =43°;

28°

AC, AB – касательные, следовательно, AB1=AC1, AKB1C1, т. е. AK – биссектриса ∆ B1AC1, ∆ B1AC1 – равнобедренный, следовательно 1=2 (углы при основании).

1=2=B1C1 (как угол между касательной AC и хордой B1C1).

B1OC1=B1C1 – как центральный, следовательно B1OC1= =21.

1=2 = ;

OB1AC, OC1AB (по свойству касательной).

B1C1O = C1B1O = 90° - 71° = 19°.

Аналогично, OB1A1 =OA1B1==28°;

OC1A1 = OA1C1==43°;

B1A1C1= 43°+28°=71°; C1B1A1= 19°+28°=47°;

B1C1A1= 19°+43°=62°;


10.4.

Решение:

По теореме Виета x1 + x2 = –a, x1x2 = . Получаем:

x14 + x24 = (x12 + x22)2–2(x1x2)2 = ((x1 + x2)2 – 2 x1x2)2 – 2 (x1x2)2 = (a2 + )2 – 2 = a4 + 2 + = a4 + 2 +

≥2 + 2= 2 + .


10.5. Ответ: 333 числа

Решение:

Если повторяющаяся 3 раза цифра – 0, то, добавляя одну из 9 других цифр, получим 9 чисел. Если повторяется не 0, то чисел 9 ∙ 4 ∙ 9. всего 333 числа.


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИМЕРНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ

ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД


10 класс

Задача 10.1

7 баллов – полное верное решение с теоретическим обоснованием, приводящее к правильному ответу.

6-7 баллов – верное решение, но имеются небольшие недочеты, не влияющие на логику рассуждений.

5-6 баллов – решение в целом верное, но имеются ошибки, не влияющие на ход рассуждения.

3-4 балла - получен ответ, но обоснование решения недостаточно полно; в рассуждениях имеется здравый смысл, использовано свойство квадратичной функции, но решение не закончено.

1-2 баллы – рассмотрены только частные случаи.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задача 10.2. можно

7 баллов - правильный ответ и подробное обоснование решения с опорой на теорию (свойства делимости).

5-6 баллов – решение верное, но имеются несущественные неточности или ошибки, не влияющие на логику рассуждений.

2-4 балла – в рассуждениях есть здравый смысл, но решение не закончено или имеется ошибка

1 балл – приведены только частные случаи или числа найдены подбором.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задача 10.3 Ответ: 71°; 47°; 62°

7 баллов – решение и чертеж правильные, доказательство полное с опорой на теорию (использование теорем о вписанном и центральных углах, свойств вписанной окружности).

6 баллов - верное решение, сделаны выводы, но имеются небольшие недочеты, не влияющие на ход доказательства.

4-5 баллов - правильно построенный чертеж, в рассуждениях есть здравый смысл с опорой на теорию, но допущена ошибка.

2-3 балла – выполнен чертеж, но рассуждения неполные, отрывочные.

1 балл – выполнен чертеж, рассмотрены частные случаи, но решение выполнено не до конца.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задание 10.4.

7 баллов – четкое и полное доказательство с опорой на теорию (свойства квадратичной функции, теорема Виета).

6-7 баллов – верное решение, найдены закономерности, сделаны выводы, но имеются небольшие недочеты, не влияющие на ход рассуждений.

4-5 баллов – в рассуждениях имеется здравый смысл, использованы свойства квадратичной функции и теорема Виета, но допущены ошибки в преобразовании выражения.

2-3 балла – исследовано квадратное уравнение, в рассуждениях есть здравый смысл, но решение не закончено или имеется ошибка.

1 балл – рассмотрен только частный случай.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задача 10.5. Ответ: 333 числа

7 баллов - полное верное решение, приводящее к правильному ответу.

6-7 баллов – получен правильный ответ, решение логически обоснованно, но допущены неточности, не влияющие на решение.

5-6 баллов – решение в целом верное, использованы правила суммы и произведения, но решение содержит негрубые ошибки, неточности в рассуждениях.

3-4 балла - выполнена значительная часть задания, в рассуждениях имеется здравый смысл, но решение не закончено.

1 -2 балла - рассмотрены только частные случаи или числа найдены подбором.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ



11 класс

Ответ: x = n, nZ

Решение:

31+ sin x +…+ sinx = 3, получим 1+ sin x +…+ sinx = . В левой части этого уравнения – сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии S =, где b1 = 1,

q = sin x. Следовательно, S = . Тогда = ,

sin x = –, x = n, nZ


11.2. Ответ: многочлен состоит из 31996 слагаемых

Решение:

Применяя формулу суммы кубов, запишем данное выражение в виде:

, где 31996 является нечетным числом, и, следовательно, после деления получим многочлен, состоящий из 31996 слагаемых.


11.3. Решение:

Обозначим через xy двузначные числа. Из условия задачи имеем, что 10x + y = (x + 2)(y + 2), откуда x =

Вычислим x +1 = . Отсюда получаем, что 12 делится на (8 – y). Так, что y – одно из чисел из 2, 4, 5, 6, 7, а (x + 1) соответственно 2, 3, 4, 6, 12. Следовательно, возможны четыре числа, удовлетворяющие условию задачи: 12, 24, 35, 56.


11.4. Ответ:

Решение:

Искомое расстояние равно расстоянию MK между параллельными сечениями куба, содержащими данные диагонали B1D1и DC1 двух смежных граней.

Будем находить из треугольника NMC1 искомый отрезок MKNC1.

В равностороннем ∆BC1D ND= и по теореме Пифагора NC1= . В ∆ NMC1 MN= a, MC1=. Пусть KC1= x, тогда NK=NC1 – KC1= x.

Выражая квадрат перпендикуляра MK из треугольников NMK и MKC1, составим уравнение:

NM2 – NK2 = MC12 – KC12, a2 (x)2 = ()2 x2. Откуда найдем

x = , следовательно MK = .


11.5.

Решение:

Рассмотрим также трехэлементные подмножества

X/A1,…,X/A9. Так как всего есть C63=20 подмножеств множества X, то существуют подмножество C, не совпадающее ни с одним из подмножеств Ai и X/ Ai ,

1 ≥ i ≥ 9. Покрасим элементы C в один цвет, а элементы X/C в другой. Теперь любое подмножество Ai обязательно содержит как элементы C, так и элементы X/C.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ


ХАБАРОВСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ


РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИМЕРНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ

ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА 2009-2010 УЧЕБНЫЙ ГОД


11 класс


Задача 11.1 Ответ: x = n, nZ

7 баллов – полное верное решение уравнения с теоретическим обоснованием, приводящее к правильному ответу.

6-7 баллов – верное решение, но имеются небольшие недочеты, не влияющие на логику рассуждений.

5-6 баллов – решение в целом верное, но имеются ошибки, не влияющие на ход рассуждения.

3-4 балла - в рассуждениях имеется здравый смысл, уравнение преобразовано, но допущены существенные ошибки либо не использовано свойство бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1-2 балла – выполнена значительная часть задания, но решение не закончено.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задача 11.2. Ответ: многочлен состоит из 31996 слагаемых

7 баллов - правильный ответ при полном обосновании решения.

6-7 баллов – решение верное, но имеются несущественные недочеты, не влияющие на логику рассуждений.

4-5 баллов – решение в целом верное, использована формула суммы кубов, но допущены ошибки.

1-3 балла - в рассуждениях имеется здравый смысл, выполнена существенная часть задания, но решение не доведено до конца.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задача 11.3 Ответ: 12, 24, 35, 56

7 баллов - правильный ответ и подробное обоснование решения.

5-6 баллов – решение верное, но имеются несущественные неточности или ошибки, не влияющие на логику рассуждений.

2-4 балла – в рассуждениях есть здравый смысл, но решение не закончено или имеется ошибка.

1 балл – приведены только частные случаи или числа найдены подбором.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.


Задание 11.4.

7 баллов – четкое и полное доказательство с опорой на теорию (сечение куба, расстояние между параллельными плоскостями).

6 баллов – решение в целом верное, но нерациональное, есть «лишние» построения, при рассуждениях допущены неточности.

5 баллов – выполнен чертеж, в решении есть здравый смысл, но имеется нечеткость в логике рассуждений.

2-4 балла – допущены неточности при построении чертежа, но приведено неполное доказательство (с ссылкой на теорию).

1 балл – выполнен чертеж, но доказательство не закончено.

0 баллов – грубая ошибка в логике рассуждений либо решение отсутствует.


Задача 11.5.

7 баллов – четкое и логическое доказательство с опорой на теорию (теория множеств).

5-6 баллов – рассуждения верные, оценены подмножества данного множества X и элементы этих подмножеств, но допущены неточности в рассуждениях.

3-4 балла - в рассуждениях есть здравый смысл, опора на теорию, но имеются существенные ошибки.

2 балла – идея решения верная, но задача не доведена до конца.

1балл – рассмотрены частные случаи.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.









Похожие:

Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconМетодические рекомендации по разработке заданий для школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по немецкому языку в 2009/2010 учебном году
Методические материалы содержат рекомендации по порядку проведения олимпиад по немецкому языку, требования к структуре и содержанию...
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconМетодические рекомендации по оцениванию заданий для школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по французскому языку
Процедура подсчета баллов, как правило, проста и очевидна: за каждый правильно выбранный ответ дается 1 балл
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconРекомендации по оцениванию заданий с развёрнутым ответом (С1 и с2)
Письменная речь как продуктивный вид речевой деятельности оценивается в первую очередь с точки зрения успешности выполнения коммуникативной...
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconМодуль «Алгебра» содержит 9 заданий На выполнение заданий модуля отводится 45 минут
Тренировочные варианты по математике в формате гиа 2013 составлены в соответствии с проектом демоверсии экзаменационной работы заданий...
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconМетодические рекомендации по разработке заданий для школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по французскому языку в 2009/2010 учебном году
Методические рекомендации по составлению конкурсных заданий, по их проведению и по процедуре оценивания
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconПрактикум по оцениванию выполнения заданий по письму
Эксперты оценивают два продукта письменной речи: личное письмо (С1) и высказывание с элементами рассуждения (С2)
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconПлан работы рмо учителей математики на 2009 2010 учебный год
В методические рекомендации по разработке заданий для школьного и муниципального этапов олимпиады школьников по математике
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconРекомендации по оцениванию ответов
Оценка «5» за вопрос теоретического характера ставится при условии, что учащийся
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconМетодические рекомендации по планированию итогового повторения курса полной (средней) школы по математике с учетом уровневой дифференциации (с использованием банка заданий ким федерального института педагогических измерений)
Всеми школьниками учебного материала на базовом уровне, а также возможность мотивированным учащимся, заинтересованным в получении...
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconМетодические рекомендации для подготовки к гиа в 2013 году. В ней описана структура экзамена, основные особенности. Данное пособие поможет учителям качественно подготовить учеников к экзамену
...
Рекомендации по примерному оцениванию заданий по математике iconДемо-версия по математике 5 класс
Из заданий №1-№12 должно быть правильно выполнено не менее 8 заданий (не менее 10 баллов)
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib2.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы