§ Два вида движений. Аналитическое выражение движения

Название	§ Два вида движений. Аналитическое выражение движения
страница	1/3
Дата конвертации	08.12.2012
Размер	0.67 Mb.
Тип	Документы
источник

1 2 3

1. /Выполнила студентка 252 группы Чекур Галя/ВКР Движение.docx
2. /Выполнила студентка 252 группы Чекур Галя/Приложение 2, 3.docx
3. /Выполнила студентка 252 группы Чекур Галя/решения задач по теме.docx

§ Два вида движений. Аналитическое выражение движения
Приложение 2 (таблица №2) Приложение 3
Рассмотрим решения задач по теме "Движения плоскости"

Оглавление

Введение.................................................................................................................................3

Глава 1. Теоретические основы темы "Движения плоскости"........................6

§ 1. 1. Отображение и преобразование множеств............................................6

§ 1. 2. Движения плоскости..............................................................................10

§ 1. 3. Два вида движений. Аналитическое выражение движения...............21

§ 1. 4. Классификация движений плоскости...................................................27

Глава 2. Методические основы темы "Движения плоскости"......................32

§ 2. 1. Анализ различных школьных учебников геометрии по теме "Движения плоскости"..............................................................................................32

§ 2. 2. Анализ содержания темы "Движения плоскости"..............................37

§ 2. 3. Обязательные результаты обучения по теме "Движения плоскости"..................................................................................................................39

§ 2. 4. Тематическое планирование темы "Движения плоскости"................40

§ 2. 5. Описание методики изучения темы "Движения плоскости".............42

§ 2. 6. Методика решения задач по теме "Движения плоскости".................44

Глава 3. Применение ЭВМ при изучении движений плоскости в школьном курсе геометрии.........................................................................................................50

§ 3. 1. Компьютер как средство обучения.......................................................50

§ 3. 2. Компьютерное тестирование по теме "Движения плоскости"..........52

§ 3. 3. Описание приложения...........................................................................56

Заключение.........................................................................................................57

Список используемой литературы...................................................................59

Приложение.......................................................................................................61

Введение

В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод преобразований (в частности, движения плоскости) потому, что он тесно связан с алгеброй, физикой, химией, биологией, техникой и т. д. Это сближает математику с данными областями наук. Методы геометрических преобразований позволяют решать большой класс задач элементарной геометрии: задачи на доказательство, построение, вычисление, нахождение геометрических мест точек.

Можно с уверенностью говорить о том, что изучение движений плоскости является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. В процессе изучения данной темы учащиеся развивают свое логическое мышление, алгебраическое вычисление, аккуратность при построении чертежей, в результате у учащихся повышается интерес к такой дисциплине как геометрия. Поэтому необходима методика изучения движений плоскости, позволяющая учащимся научиться решать разнообразные задачи с помощью движений плоскости. Этим и определяется актуальность выбранной темы: «Движения плоскости и их изучение в школьном курсе геометрии».

Объект исследования данной работы – это процесс изучения учащимися геометрии.

Предметом исследования является изучение движений плоскости в школьном курсе геометрии.

Цель работы – разработать методику изучения движений плоскости в школьном курсе геометрии.

Гипотеза: изучение движений плоскости в школе будет более эффективно, если:

в 5 - 8 классах проведена пропедевтическая работа по формированию таких понятий темы как центральная и осевая симметрии;
в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся с общим понятием "движение плоскости", а также с другими видами движений плоскости;
используется компьютерное тестирование, которое дает возможность анализировать учебный процесс, вносить в него коррективы, т.е. осуществлять полноценное управление процессом обучения.

Предмет, цель и гипотеза исследования определяют следующие задачи:

1) Исследовать теоретические основы темы "Движения плоскости";

2) Провести анализ различных школьных учебников геометрии по теме "Движения плоскости";

3) Провести анализ содержания темы "Движения плоскости";

4) Разработать календарно - тематическое планирование по изучению темы "Движения плоскости";

5) Описать методику обучения учащихся теме "Движения плоскости" в 9 классе;

6) Описать методику решения задач по теме "Движения плоскости";

7) Разработать пакет компьютерных тестов по теме "Движения плоскости".

Для решения поставленных задач использовались следующие методы:

1) Анализ программы по математике, учебных пособий, методических материалов, касающихся движений плоскости;

2) Анализ предметной области геометрии, интернет - сайтов, сравнение и обобщение.

Данная выпускная квалификационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.

Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, сформулированы гипотеза, объект, предмет, задачи и методы исследования.

В первой главе описаны теоретические основы темы "Движения плоскости", а именно, понятия отображений и преобразований множеств, понятие "движения плоскости", примеры движений плоскости, два вида движений, аналитическое выражение движения, классификация движений плоскости.

Во второй главе описаны методические основы темы "Движения плоскости", а именно, проведен анализ различных школьных учебников геометрии по данной теме, рассмотрены обязательные результаты обучения по данной теме, разработано специальное тематическое планирование с учетом компьютерного тестирования, описана методика изучения темы "Движения плоскости", описана методика решения задач по данной теме.

В третьей главе представлено применение ЭВМ при изучении движений плоскости в школьном курсе геометрии, а именно, компьютер как средство обучения, компьютерное тестирование по теме "Движения плоскости", а также описаны приложения.

В заключении содержатся выводы по работе.

Глава 1. Теоретические основы темы "Движения плоскости"

§ 1. 1. Отображение и преобразование множеств

1. 1. 1. Пусть Х, Y – непустые множества и G

Х × Y. Если (х, у)

G, то говорят, что элементу х

Х соответствует элемент у

Y относительно G.

Тройка (G, Х, Y) = Г, где G

Х × Y, называется соответствием между множеством Х и множеством Y. Обозначим через np_iG (i = 1, 2) множество

i – х проекций для всех (х, у)

G. Употребляют такие названия: G – график соответствия Г; Х – область отправления; Y – область прибытия; np₁G – область определения; np₂G – область значений соответствия Г.

Пример. Зададим на плоскости прямоугольную систему координат

{O,

} и возьмем два множества (рис. 1):

X = {x

M (x, 0)

[OA]},

Y = {y

M (0, y)

[OB]}.

Тогда X × Y = {(x, y) | M (x, y) – точка прямоугольника ОАСВ}. Пусть Ğ

– некоторое непустое множество точек прямоугольника ОАСВ. Тогда

G = {(x, y) | M (x, y)

Ğ} является подмножеством множества X × Y. Оно определяет соответствие Г = (G, X, Y) с областью определения

np₁G = {x

X | M (x, 0)

[ST]} и областью значений np₂G = {y

Y | M (0, y)

[KL]}.

Рис. 1 Рис. 2

1. 1. 2. Частным случаем соответствия является функция. Соответствие f = (G, X, Y) называется функцией, если для каждого x

np₁G (т.е. для каждого х из области определения соответствия f) существует единственный элемент у

Y | (x, y)

G. Этот элемент y

Y называют значением функции f для элемента х

Х и обозначают через f(x).

Если область определения функции f совпадает с множеством Х:

np₁G = X, то говорят, что f есть отображение множества Х в множество Y. Пишут: f: X → Y или Х

Y.

Следовательно, всякая функция f = (G, X, Y) является отображением своей области определения np₁G в множество Y.

Элемент у = f (x) называют образом элемента х, а х – прообразом элемента у в отображении f. Говорят также, что х переходит в у при отображении f.

1. 1. 3. Отметим важнейшие частные случаи отображений f: X → Y.

1) Если х₁ ≠ х₂

f (x₁) ≠ f (x₂) для

х₁, х₂

Х, то f называют взаимно однозначным отображением Х в Y или инъекцией.

2) Пусть f (X) – образ множества Х в отображение f, т.е. f (X) = {f(x) | x

X}. Если f (X) = Y, то отображение f называется отображением множества Х на Y или сюръекцией.

3) Отображение f называется биекцией или взаимно однозначным отображением Х на Y, если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Пример 1. Пусть (О) – окружность с центром О, [AB] – ее диаметр (рис.2). Обозначим через f соответствие между окружностью (О) и прямой (АВ), установленное по следующему закону: Каждой точке М

(О) ставим в соответствие точку f (М) = М₀ – ортогональную проекцию точки М на прямую (АВ).

Подмножество G

(O) × (AB) – график соответствия определяется указанным законом. Очевидно, это соответствие является отображением

f: (O) → (AB); оно не инъективно (f (M) = f (N) при M ≠ N, см. рисунок) и не сюръективно (f ((O)) = [AB] ≠ (AB)).

Вместо окружности (О) возьмем ее полуокружность F с концами в точках А и В.

Ортогональное проектирование f точек М

F на прямую (АВ) будет теперь инъекцией f: F → (AB), но не сюръекцией (f (F) = [AB] ≠ (AB)).

Пример 2. Дан треугольник АВС и точки В₁

[AB), C₁

[AC), отличные от точки А (рис.3). Пусть f – соответствие между отрезками [BC] и [B₁C₁], установленное по закону: каждой точке М

[BC] ставим в соответствие точку М₁= (АМ) ∩ (В₁С₁). Легко видеть, что здесь мы имеем биекцию f: [BC]

→[B₁C₁].

Рис. 3 Рис. 4

Замечание. Из определений в п⁰ 1. 1. 3 следует, что всякое отображение f: X→ Y можно рассматривать как сюръекцию f: X→ f (X). Точно также инъекция f: X → Y приводит к биекции f: X → f (X).

В примере 1 мы имеем сюръекцию f: (O) → [AB] и биекцию f: F → [AB].

1. 1. 4. Пусть дана биекция f: X → Y (рис.4). Мы можем построить другое отображение g: Y → X по закону: g (y) = x, если y = f (x). Получим биективное отображение Y на Х, которое обычно обозначают не через g, а через f^-1 и называют отображением, обратным к f.

Имеем:

f ^-1(y) = x.

1. 1. 5. Преобразованием множества Х ≠ Ø называется всякая биекция f этого множества на себя: f: X → X.

При этом всякое подмножество F

X переходит в некоторое подмножество F^/ = f (F)

X.

Элемент х (подмножество F) называют неподвижным или инвариантным элементом (подмножеством) в преобразовании f, если f (x) = x (соответственно: f (F) = F).

Замечание. Иногда всякую сюръекцию Х на Y называют преобразованием множества Х в множество У.

§ 1. 2. Движения плоскости

1. 2. 1. Говорят, что преобразование плоскости сохраняет расстояния, если расстояние между любыми двумя точками А и В плоскости равно расстоянию между их образами А ^/ и В ^/, т. е. АВ = А ^/В ^/.

Определение. Преобразование плоскости, сохраняющее расстояние, называется движением (или перемещением).

Наиболее простым примером движения является тождественное преобразование плоскости, т. е. преобразование, при котором каждая точка плоскости переходит в себя.

Определение. Упорядоченную тройку точек А, В, С плоскости, не лежащих на одной прямой, называют репером и обозначают так: R = (А, В, С). Точки А, В и С называются вершинами репера, причем точка А называется ее началом. Репер называется аффинным, если треугольник АВС произвольный, и ортонормированным, если угол А прямой, а АВ = АС = 1.

Пусть на плоскости дана система координат О

₁

₂. Отложив от точки О векторы

₁ =

₁,

₂ =

₂, получим репер R = (O, E₁, E₂), о котором мы скажем, что он соответствует системе координат О

₁

₂. Если данная система координат аффинная, то R – аффинный репер, а если система координат прямоугольная, то репер R ортонормированный. Обратно, если дан репер R = (О, Е₁, Е₂), то можно построить систему координат О

₁

₂,

где

₁ =

₁,

₂ =

₂, которой соответствует репер R.

1. 2. 2. Рассмотрим некоторые примеры преобразований плоскости П.

Пример 1. Возьмем вектор

ǁǁ П. Отображение f: П → П по закону: f(M) = M ^/

MM^/

является преобразованием плоскости П и называется параллельным переносом ( или просто переносом) плоскости П, а вектор

при этом называется вектором переноса f (рис. 5).

Возьмем в плоскости П ортонормированный репер R = {O,

}, и пусть

= x₀

+ y₀

. Если M (x, y) и f (M) = M^/ (x^/, y^/) в репере R, то

(a)

Формулы (а) выражают координаты x^/, y^/ точки M^/ = f (M) через координаты х, у точки М в одном и том же репере R. Обратно, если дан ортонормированны репер R = {O,

} в плоскости П, то формулы (а) определяют отображение f: {M (x, y) {→} M (x^/, y^/)}, которое является преобразованием плоскости П.

(а)

(x^/ - x = x₀, y^/ - y = y₀)

= x₀

+ y₀

Рис. 5 Рис. 6

Итак, преобразование f – перенос,

– вектор переноса.

Из формул (а) следует:

а) перенос f на вектор

≠

не имеет инвариантных точек;

б) перенос f на вектор

есть тождественное преобразование, т.е. оставляет каждую точку неподвижной;

в) перенос f любую прямую а, данную в репере R уравнением:

Ах + Ву + С = 0, переводит в параллельную ей прямую а^/, уравнение которой в репере R:

Ax^/ + By^/ - (Ax₀ + By₀ – C) = 0.

Если вектор переноса

= x₀

+ y₀

параллелен прямой а,

(x₀ = λB, y₀ = - λA), то f (a) = a.

Пример 2. Две точки М, М^/ называются симметричными относительно прямой d, если d

(MM^/) и прямая d проходит через середину М₀ отрезка [MM^/]. Каждая точка прямой d считается симметричной самой себе (рис. 6).

Если на плоскости дана прямая d, то мы можем определить отображение f: П→ П по закону: f (M) = M^/

когда точка М^/ симметрична М относительно прямой d. Так мы получим преобразование плоскости, которое называется осевой симметрией (или отражением от прямой d); прямая d называется осью симметрии.

Отражение от прямой d будем обозначать той же буквой d и писать: d(M)= = M^/.

Замечание. Ось симметрии d не является осью в обычном смысле, так как отражение от прямой d вполне определяется заданием этой прямой, без указания положительного направления на ней.

Возьмем ортонормированный репер R = {O,

} | O

ǁǁ d и обозначим через х, у координаты точки М, а через x^/, y^/координаты точки М^/ = d (M) в репере R. Если М

d, M₀ – середина отрезка [MM^/], то из отношений (ММ^/)

= -

= - y

следуют формулы:

х^/ = х,

(б)

у^/ = - у.

Если M

d, то M^/ = M, x^/ = x, y^/ = 0, y = 0. Итак, формулы (б) выражают координаты х^/, у^/ точки М^/ = d (M) через координаты х, у точки М в репере R. Обратно, если дан ортонормированный репер R = {O,

}, то формулы (б) определяют отображение f: {M (x, y)} → {M^/ (x^/, y^/)}, которое является преобразованием плоскости. Если М

(Ох), то у = 0, (б)

М^/ = М.

Если М

(Ох), то (б)

(ММ^/)

(Ох), [MM^/] ∩ (Ox) = M₀

Следовательно, преобразование f есть отражение от оси (Ох).

В отражении от прямой d имеем:

а) каждая точка прямой d инвариантна;

б) М

d (M) ≠ M;

в) прямая d инвариантна;

г) b

прямая b инвариантна;

д) c ǁǁ d

d (c) ǁǁ d;

(а), (б)

d = {M | d (M) = M}.

Пример 3. Пусть на ориентированной плоскости П даны направленный угол АВС, величина которого α, и точка О. Определим отображение f: П → П по закону:

1) f (O) = O;

2) если f (M) = M^/ (M ≠ O), то:

а) ρ (O, M) = ρ (O, M^/);

б) угол МОМ^/ имеет величину α заданного угла АВС и одинаково с ним ориентирован (рис. 7).

Рис. 7

Так мы получаем преобразование плоскости, которое называется поворотом (или вращением) плоскости вокруг точки О на угол α. Точка О называется центром поворота, а величина α направленного угла АВС называется углом поворота.

Заметим, что если f и f^/ - два поворота вокруг точки О соответственно на угол α и

α^/ =

то f = f^/.

Следовательно, угол α поворота f вокруг точки О всегда можно выбрать так, что | α | ≤ π, и, значит можно считать α =

.

Если α ≠ 0, М ≠ 0, то f (M) ≠ M.

Если α = 0, то f (M) = M (

П) и, следовательно, f – тождественное преобразование.

Возьмем на плоскости ортонормированный репер R = {O,

}. Пусть f – поворот плоскости вокруг точки О на угол α; x, y – координаты точки М,x^/, y^/ - координаты точки М^/ = f (M) в репере R. Тогда (

^/ ) = α,

ρ (O, M) = ρ (O, M^/) =

.

Из формул:

(*)

получим:

x^/ = x cos α – y sin α,

(в)

y^/ = x sin α + y cos α.

Формулы (в) выражают координаты х^/, у^/ точки М^/ = f (M) через координаты х, у точки М в одном и том же репере R. Обратно, если дан ортонормированный репер R = {O,

}, то формулы (в) определяют отображение f: {M (x, y)} → {M^/ (x^/, y^/)}.

Из формул (в) получаем:

f (O) = O, x^{/ 2} + y^{/ 2} = x² + y²

ρ (O, M) = ρ (O, M^/). Если M ≠ 0, то

М^/ = f (M) ≠ 0.

Пусть φ = (

^/). Тогда по формулам (*) имеем:

.

Итак, преобразование f, определяемое формулами (в) в репере R, есть поворот плоскости вокруг точки О на угол α.

Пример 4. Точки М, М^/ плоскости П называют симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка [MM^/]; точка О считается симметричной самой себе.

Отображение f: П→ П по закону: f (M) = M^/

когда М, М^/ симметричны относительно точки О, является преобразованием плоскости и называется симметрией плоскости относительно точки О (или центральной симметрией, или, наконец, отражением от точки О). Точка О называется центром симметрии. Легко заметить, что центральная симметрия является поворотом плоскости вокруг центра симметрии О на угол α = π и, следовательно, в ортонормированном репере R = {O,

} определяется формулами:

х^/ = - х,

(в^/)

у^/ = - у.

Любая прямая (MN), уравнение которой в репере R = {O,

}

Ax + By + C = 0,

переходит в прямую (M^/ N^/), параллельную прямой (MN), имеющую в репере R уравнение Ax^/ + By^/ - C = 0 (рис. 8).

Рис. 8 Рис. 9

Пример 5. Если d – осевая симметрия, g – перенос плоскости на вектор

≠

|‌‌‌| d, то преобразование f = g

d называется скользящей симметрией (или скользящим отображением).

Возьмем ортонормированный репер R = {O,

} | O

|‌‌‌| d (рис. 9), и пусть в репере R: M (x, y), d (M) =

(

), g (

) = M^/ (x^/, y^/),

= x₀

. Тогда формулы (б), (а) преобразований d и g в репере R имеют вид:

d:

(*) g:

(**)

(*), (**)

(г)

Формулы (г) выражают координаты х^/, у^/ точки М^/ = f (M) через координаты х, у точки М в репере R. Обратно, если дан ортонормированный репер R = {O,

}, то формулы (г) определяют отображение f: {M (x, y)} →

{M^/ (x^/, y^/)} и f = g

d, где d - симметрия относительно оси (Ох), а g – перенос, определяемые соответственно формулами (*), (**) в репере R. Следовательно, преобразование f, определяемое в репере R формулами (г), есть скользящая симметрия.

Из свойств осевой симметрии и переноса плоскости следует, что в скользящей симметрии f = g

прямая d инвариантна;
d₁ |‌‌‌| d f (d₁) |‌‌‌| f (d) f (d₁) |‌‌‌| d;
d₁ d f (d₁)d;
середина отрезка [M, f (M)] лежит на прямой d (Md);
скользящая симметрия не имеет инвариантных точек.

1. 2. 3. Теорема 1. Пусть R = (A, B, C) и R^/ = (A^/, B^/, C^/) – произвольные ортонормированные реперы плоскости σ. Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в репер R^/. При этом движении любая точка М с данными координатами в репере R переводит в точку М^/ с теми же координатами в репере R^/.

□ 1) Докажем сначала, что существует движение, которое репер R переводит в репер R^/. Построим отображение g: σ → σ следующим образом. Произвольной точке М с координатами х, у в репере R поставим в соответствие точку М^/ с теми же координатами в репере R^/. Ясно, что А (0, 0)_R

A^/ (0, 0)_R^/, B (1, 0)_R

B^/ (1, 0)_R^/ и С (0, 1)_R → C^/ (0, 1)_R^/.

Отображение g: σ → σ является взаимно однозначным отображением плоскости на себя, т. е. является преобразованием плоскости σ. Докажем, что g сохраняет расстояние. В самом деле, пусть М₁ и М₂ – произвольные точки плоскости, которые в репер R имеют координаты М₁ (х₁, у₁)_Rи М₂ (х₂, у₂)_R. Тогда М₁М₂ =

. Образы М ₁^/ и М ₂^/ точек М ₁ и М ₂ в репере R^/ имеют те же координаты: М^/₁ (х₁, у₁)_R^/, M^/₂ (x₂, y₂)_R^/, поэтому

М^/₁М^/₂ =

и, следовательно, М₁М₂ = М^/₁М^/₂. Таким образом, g – движение, которое переводит репер R в репер R^/.

2) Докажем теперь, что g – единственное движение, которое переводит репер R в репер R^/. Допустим, что это не так, т. е. существует другое движение f, такое, что R^/ = f (R). Тогда на плоскости существует такая точка М, что образ М₁ этой точки в движении g не совпадает с образом М₂ той же точки в движении f. Так как А

А^/ и А

А^/, то АМ = А^/ М₁, АМ = А^/ М₂, поэтому А^/ М₁ = А^/ М₂ т.е. точка А^/ равноудалена от концов отрезка М₁М₂. Точно так же можно доказать, что точки В^/ и С^/ равноудалены от концов отрезка М₁М₂. Таким образом, точки А^/, В^/ и С^/ лежат на серединном перпендикуляре отрезка М₁М₂, т.е. на одной прямой, что противоречит определению репера.

Итак, g – единственное движение, которое репер R переводит в репер R^/. При этом движении точка М (х, у)_R переводит в точку М^/ (х, у)_R^/. ■

1. 2. 4. Пользуясь этой теоремой, выясним, в какие фигуры переходят в движении прямая, полуплоскость, отрезок, луч и угол.

1⁰. Движение переводит прямую в прямую, а параллельные прямые – в параллельные прямые.

□ Выберем ортонормированный репер R и рассмотрим его образ R^/ в данном движении. Тогда R^/ также ортонормированный репер. Пусть прямая d в репере R определяется уравнением Ах + Ву + С = 0. Образ d^/ этой прямой (т.е. множество образов всех точек прямой d) в репере R^/ определяется тем же уравнением, поэтому является прямой.

Рассмотрим теперь параллельные прямые d₁ и d₂ и их образы d^/₁ и d^/₂. Если предположить, что прямые d^/₁ и d^/₂ имеют хотя бы одну общую точку М^/, то прообраз М этой точки лежит как на прямой d₁, так и на прямой d₂. Таким образом, прямые d₁ и d₂ имеют общую точку М; это противоречит условию. ■

2⁰. Движение переводит полуплоскость с границей b в полуплоскость с границей b^/, где b^/ - образ прямой b.

□ Пусть α – данная полуплоскость с границей b, а α^/ - образ полуплоскости α в движении g. Если прямая b в репере R имеет уравнение Ах + Ву + С = 0, то по теореме (Если в аффинной системе координат прямая d задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то полуплоскости с границей d определяются неравенствами Ах + Ву + С > 0 и Ах + Ву + С < 0) полуплоскость α определяется неравенством

Ах + Ву + С > 0 (или Ах + Ву + С < 0). (1)

Множество α^/ в репере R^/, где R^/ = g (R), определяется тем же неравенством (1). Отсюда следует, что α^/ - полуплоскость с границей b^/, где b^/= g (b). ■

Отношение λ, в котором точка С делит отрезок АВ называется простым отношением трех точек А, В, и С и обозначается так: λ = (АВ, С).

Докажем следующее важное свойство.

3⁰. Движение сохраняет простое отношение трех точек прямой.

□ Пусть в репере R три произвольные точки одной прямой имеют координаты А (х₁, у₁), В (х₂, у₂), С (х, у).

Если λ = (АВ, С), то

(2)

Если R^/ - образ репера R, то образы А^/, В^/, С^/ точек А, В, С в репере R^/ имеют координаты А^/ (х₁, у₁), В^/ (х₂, у₂), С^/ (х, у). Равенства (2) показывают, что точка С^/ делит отрезок А^/ В^/ в отношении λ, т.е. (А^/ В^/, С^/) = λ. Таким образом,

(АВ, С) = (А^/ В^/, С^/). ■

Точка С лежит между точками А и В тогда и только тогда, когда (АВ, С) > > 0, поэтому из свойства 3⁰ следует утверждение.

4⁰. Движение сохраняет отношение «лежать между».

Если (АВ, С) > 0, то точка С лежит на отрезке АВ, а если (АВ, С) < 0, то точка С лежит на прямой АВ, но вне отрезка АВ. Отсюда и из свойства 3⁰ следует утверждение.

5⁰. Движение переводит отрезок АВ в отрезок А^/ В^/, где А^/ и В^/ - образы точек А и В. При этом середина отрезка АВ переходит в середину отрезка А^/ В^/.

6⁰. Движение переводит луч в луч, а угол – в угол.

7⁰. Движение переводит угол в равный ему угол.

□ Пусть

– данный угол,

- его образ, причем О^/, А^/ и В^/ - образы точек О, А и В. Если

развернутый, то утверждение теоремы очевидно, поэтому рассмотрим случай, когда этот угол не развернутый, т.е. (О, А, В) – репер. Тогда (О^/, А^/, В^/) также репер. Треугольники ОАВ и О^/ А^/ В^/ равны по третьему признаку равенства треугольников (ОА = О^/ А^/, ОВ = О^/ В^/, АВ = А^/ В^/), поэтому

. ■

Отсюда и из свойств 1⁰ как следствие получаем утверждение.

8⁰. Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно перпендикулярные прямые.

1. 2. 5. Пусть О – некоторая точка плоскости, h – луч, исходящий из этой точки, а α – полуплоскость, границе которой принадлежит луч h. Тройка О, h, α называется флагом и обозначается так: (О, h, α) (рис. 10). Очевидно, при движении флаг переходит в флаг.

Рис. 10 Рис. 11

Теорема 2. Пусть (О, h, α) и (О^/, h^/, α^/) – произвольные флаги. Тогда существует одно и только одно движение, которое флаг (О, h, α) переводит в флаг (О^/, h^/, α^/).

□ Введем в рассмотрение ортонормированные реперы (О, Е₁, Е₂) и (О^/, Е^/₁, Е^/₂) такие, что Е₁

h, Е₂

α, Е^/₁

h^/, Е^/₂

α^/ (рис. 11). Рассмотрим движение g, которое репер (О, Е₁, Е₂) переводит в репер (О^/, Е^/₁, Е^/₂). Так как О^/ = g (О),

Е^/₁ = g (E₁), то h^/ = g (h). Но Е^/₂ = g (Е₂), поэтому α^/ = g (α). Таким образом, движение g переводит флаг (О, h, α) в флаг (О^/, h^/, α^/).

Пусть f – произвольное движение, которое переводит флаг (О, h, α) в флаг (О^/, h^/, α^/). Так как h^/ = f (h), то Е₁ = f (E₁). Далее, углы Е₁ОЕ₂ и Е^/₁О^/Е^/₂ прямые, поэтому движение f луч ОЕ₂ переводит в луч О^/Е^/₂, а следовательно,

Е^/₂ = f (Е₂). Таким образом, движение f переводит репер (О, Е₁, Е₂) в репер

(О^/, Е^/₁, Е^/₂), поэтому f совпадает с g. ■

1 2 3

	Параличи (paralyses; греч paralysis расслабление) расстройства При некоторых формах П. отсутствие произвольных движений сочетается с наличием непроизвольных автоматизированных защитных движений,...		Задача физ уголка развитие культуры движений, развитие разнообразия движений, двигательного творчества и качества движения «Детство: начиная со средней группы – самоконтроль за развитием двигательных качеств»
	Горшкова Ольга Петровна педагог психолог ципр «Пирамидка» мбдоу дс комбинированного вида №56 зато александровск, т о. г. Полярный Развитие движений пальцев и кисти ребенка, как один из методов развития речи Невропатолог и психиатр В. М. Бехтерев писал, что движения руки всегда были тесно связаны с речью и способствовали ее развитию		Галилео-Галилей Заложил основы современной механики: выдвинул идею об относительности движения, установил законы инерции, свободного падения и движения...
	Е. Л. Мокина 2010г. Модифицированная образовательная программа Элементарным критерием культуры движений является техника выполнения движений, которая предусматривает наиболее экономичное и эффективное...		С древних времен известно воздействие сочетания ритмического движения и музыки на состояние здоровья человека Танцевальное направление занятий с малышом связано с высокой выразительностью и эмоциональностью данной формы движения, ее положительным...
	А б в г ...		Тема: «Больше уважения правилам движения» Цели и задачи: Образовательные Развивать зрительное восприятие, слуховое внимание, мелкую моторику, пространственную ориентировку, координацию движений, речь
	Артикуляционная гимнастика Цель артикуляционной гимнастики – выработка полноценных движений и определенных положений органов артикуляционного аппарата, умение...		Виды спорта зимней Олимпиады в Сочи Олимпийских игр 2014. Сюда входят три коньковых вида, шесть лыжных видов, два вида бобслея, а также четыре отдельных вида спорта....
	Физкультурные минутки в начальной школе В научной литературе существует понятие биологической достаточности движений. Условно говоря, это то количество движений, которое...

§ Два вида движений. Аналитическое выражение движения

Похожие: