Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» icon

Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех»



НазваниеМуниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех»
Стародубцева Анна Анатольевна
Дата конвертации24.11.2013
Размер202.15 Kb.
ТипРеферат
источник
1. /Методы решения тригонометрических уравнений, 11 класс.docМуниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех»


Муниципальное общеобразовательное учреждение

Аннинская средняя общеобразовательная школа №6


II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех»


Методы решения

тригонометрических уравнений







Автор – Стародубцева Анна Анатольевна,

ученица 11 класса


Руководитель – Стародубцева Елена Александровна, учитель математики




Анна 2010

Содержание


Введение.

3

  1. Методы решения тригонометрических уравнений.







1.1. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

4




1.2. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

6




1.3. Решение однородных уравнений.

7




1.4. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

9




1.5. Решение уравнений с применением формул понижения степени.

11




1.6. Решение уравнений с применением формул тройного аргумента.

13




1.7. Решение уравнений методом универсальной подстановки.

14




1.8. Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня.

16




1.9. Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений.

18




1.10 Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений.

19

  1. Исследование.







    1. Цель исследования.

21




    1. Результаты исследования.

21




    1. Практическая работа.

22




    1. Результаты исследования.

27

Заключение.

28

Литература.

29



Введение.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц

Тригонометрия возникла в древние времена из потребностей людей при ведении расчетов, связанных с земельными работами (для определения расстояния до недоступных предметов, составления географических карт).

Древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения типа: , где и .

Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения.

К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений, почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

Проблема решения тригонометрических уравнений состоит не в большом количестве разнообразных формул, а в выборе направления, по которому необходимо двигаться для решения уравнения. Первый шаг на пути решения тригонометрического уравнения – это попытка отнести его к какому-либо типу, и если это удаётся, то применить характерный для данного типа метод решения уравнения.

В тоже время любой способ решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к решению простейших тригонометрических уравнений.

В школьном курсе математики изучаются лишь универсальные методы решения уравнений. В данной работе рассматриваются основные методы решения тригонометрических уравнений и проводится исследование: какие методы решения уравнений знают учащиеся и все ли их могут применить для решения уравнений.

Итак, цель данной работы:

  • систематизировать, обобщить, расширить знания и умения, связанные с решением тригонометрических уравнений.

Задачи:

  • повторить решение простейших тригонометрических уравнений;

  • рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений.

В данной работе будут использованы следующие методы:

  • научный (изучение литературы);

  • исследовательский.



1. Методы решения тригонометрических уравнений.

1.1. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.


Метод разложения на множители заключается в следующем: если

То всякое решение уравнения



(1)

Является решением совокупности уравнений



(2)

Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции .
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.

Пример 1. Решить уравнение



(3)

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде

  

  

(4)

Грубой ошибкой, которую часто допускают при решении, является сокращение левой и правой части уравнения (4) на , так как при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

 
↔ 

Ответ:  


Пример 2. Решить уравнение



(5)

Решение.
Преобразуем правую часть уравнения (5) следующим образом

Затем перенесем все слагаемые в левую часть и получим



(6)

ОДЗ уравнения (6) являются все , за исключением . На данной ОДЗ уравнение (6) равносильно совокупности двух уравнений

Первое уравнение имеет решение , а второе . Однако ОДЗ принадлежат лишь , которые и являются решением исходного уравнения (5).
Ответ: 

1.2. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.


При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:


Пример 1. Решить уравнение



(1)

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество, осуществим замену , тогда уравнение (1) примет вид

Введем подстановку , тогда получим квадратное уравнение

Решая его, находим корни . Затем осуществляя обратную подстановку или , получаем решение исходного уравнения.
Ответ:  


Пример 2. Решить уравнение



(2)

Решение.
Введем подстановку , тогда уравнение (2) примет вид

откуда . Так как , то корень не подходит. Следовательно,

Ответ: 

1.3. Решение однородных уравнений.


Уравнение вида




(1)

где – действительные числа, называются однородными уравнениями степени относительно функций и .
К квадратичным уравнениям вида (1) приводятся уравнения вида



(2)

при этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла


,

а также тождество

Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнений или не являются корнями уравнения (1), так как, если, например, , то из уравнения (1) следует, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Следовательно, левую и правую части уравнения (1) можно разделить на и ввести подстановку .


Пример 1. Решить уравнение



(3)

Решение.
Уравнение (3) является однородным уравнением первой степени. Разделив обе части на , получим равносильное уравнение . Откуда находим семейство , представляющее собой решение исходного уравнения (3).
Ответ: .


Пример 1. Решить уравнение



(4)

Решение.
Уравнение (4) не является однородным, однако его можно преобразовать к однородному, если представить единицу следующим образом

Тогда уравнение (4) примет вид

которое равносильно совокупности трех уравнений

Решая их, найдем

Ответ: 

1.4. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.


Рассмотрим уравнение



(1)

Разделим левую и правую часть уравнения (1) на :

Так как

то существует угол φ такой, что

при этом

Тогда уравнение (1) примет вид

Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор и выбор будут не всегда равносильны.

Пример 1. Решить уравнение



(2)

Решение.
Разделим левую и правую часть уравнения на . Тогда получим

Ответ можно записать в другом виде. Для этого положив получим

Ответ: 


Пример 2. Решить уравнение



(3)

Решение.
Разделим левую часть на 2 и положим . Тогда уравнение (3) примет вид

Применив формулу , получим

откуда

Следовательно,

Ответ: 

1.5. Решение уравнений с применением формул понижения степени.


При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени


Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Применив формулу понижения степени, получим


Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений

которые имеют соответственно следующие множества решений

Решение из множества при содержаться в множестве (), а при в множестве
Ответ: 


Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Применив формулы и , приведем уравнение к виду

Далее осуществим ряд простых преобразований:

Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений

Решение первого из них есть , второго – , третьего –
Решением исходного уравнения является объединение полученных множеств.
Ответ: ; ;

1.6. Решение уравнений с применением формул тройного аргумента.


При решении ряда уравнений наряду с другими существенную роль играют формулы



(1)



(2)


Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Применив формулу (2), получим

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений и . Откуда и
Ответ: ;


Пример 2. Решить уравнение



(3)

Решение.
Применив формулы понижения степени, уравнение (3) приведем к виду:

В соответствие с формулой (2), получаем равносильное уравнение


откуда имеем совокупность трех уравнений

Следовательно,

Объединив два последних множества решений, получим

Ответ: 

1.7. Решение уравнений методом универсальной подстановки.


Тригонометрическое уравнение вида



(1)

где R – рациональная функция, , с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов после чего уравнение (1) может быть сведено к рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки




(2)

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы корнями исходного уравнения.


Пример 1. Решить уравнение

Решение.
По условию задачи . Применив формулы (2) и сделав замену , получим

откуда t=0 и, следовательно,

Ответ: 


Пример 2. Решить уравнение

Решение.
По условию задачи . Используем формулы (2) и заменим , тогда получим

откуда . Следовательно, .
Заметим, что в данном случае применение подстановки не сужает ОДЗ исходного уравнения.

Ответ: 

1.8. Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня.


Специфика тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня, состоит в том, что они сводятся к смешанным системам, где кроме уравнений нужно решать тригонометрические неравенства и из решений уравнений выбирать лишь те, которые удовлетворяют неравенствам.

Пример 1. Решить уравнение



(1)

Решение.
Уравнение (1) равносильно совокупности двух систем



(2)

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и . Промежутку [-3;+∞) принадлежат и .
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и . Множеству (-∞;-3) принадлежат .
Ответ: ; ;


Пример 2. Решить уравнение



(3)

Решение.
Преобразуем уравнение (3) к виду



(4)

Так как , то уравнение (4) на ОДЗ равносильно совокупности двух систем



(5)

Уравнение из первой системы равносильно совокупности двух уравнений , а решением неравенства является множество . Из решений указанному множеству принадлежат .
Во второй системе совокупности (5) уравнение имеет решения , множеству (решение неравенства ) принадлежат , .
Ответ: ; ,


1.9. Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений.


При решении некоторых тригонометрических уравнений часто используется свойство ограниченности функций и , то есть следующие неравенства: , , .

Пример 1. Решить уравнение



(1)

Решение.
Проведем равносильные преобразования:



(2)

Так как , а , то ;
так как , а , то .
Сумма вдух неположительных слагаемых в (2) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Значит, уравнение (2) равносильно системе



(3)

Решением первой совокупности системы (3) являются углы , а решением второй - . Общими являются углы .
Ответ:  .


Пример 2. Решить уравнение



(4)

Решение.
Используя прием, изложенный в примере 1, сведем уравнение (4) к равносильной системе:



(5)

Находя решение каждой совокупности системы (5), нетрудно установить, что общими будут углы .
Ответ: 

1.10 Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений.


Не всякое уравнение f(x)=g(x) в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций f(x) и g(x), как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке X, то при наличии у уравнения f(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если, далее, функция f(x) на промежутке X ограничена сверху, причем , а функция g(x) ограничена снизу, причем , то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении . Иногда для решения уравнения f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить абсциссы точек пересечения. В этом параграфе также рассматривается применение производной для исследования тригонометрических равнений.


Пример 1. Решить уравнение



(1)

Решение.

Преобразуем уравнение (1) к виду

Так как , а , то последнее уравнение равносильно системе



(2)

Второе уравнение системы (2) имеет единственный корень х=2, подставляя его в первое уравнение, убеждаемся, что он удовлетворяет ему. Следовательно, х=2 - корень системы (2), а значит, и уравнения (1).
Ответ: х=2

Пример 2. Решить уравнение



(3)

Решение.

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, запишем исходное уравнение в равносильном виде

Последнее уравнение равносильно системе

решением которой является

Ответ: 

2. Исследование.


2.1. Цель исследования.


Цель: выяснить сколько методов решения тригонометрических уравнений знают и применяют в своей практической деятельности учащиеся 10-11 классов.


2.2. Из десяти предложенных методов решения тригонометрических уравнений:


  1. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

  2. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

  3. Решение однородных уравнений.

  4. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

  5. Решение уравнений с применением формул понижения степени.

  6. Решение уравнений с применением формул тройного аргумента.

  7. Решение уравнений методом универсальной подстановки.

  8. Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня.

  9. Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений.

  10. Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений.

учащимся 10-11 классов необходимо выбрать наиболее часто ими применяемые методы решения уравнений.

Результаты данного исследования представлены на данной диаграмме:


Исследование, проведенное среди учащихся 10-11 классов, говорит о том, что из всех предложенных методов им хорошо знакомы универсальные методы, с которыми они познакомились на уроках математики. Но отрадно и то, что есть такие учащиеся, которым знакомы все предложенные методы.

Как видно из диаграммы наиболее применяемыми при решении уравнений являются следующие методы:

  • решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

  • решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

  • решение однородных уравнений,

отнесённые к универсальным.

Это объясняется тем, что именно эти способы рассматриваются в школьном учебнике.


2.3. Практическая работа.

Рассмотрим различные методы решения уравнения


I Введение вспомогательного угла.


Разделим обе части уравнения на


Ответ:

II Введение выражений для и через по формулам:




Итак, по формулам из исходного уравнения получаем:

Отсюда


или

Если , то , и тогда .

Если , то , или .

Замечание.

Обращение к функции предполагает, что , то есть

Ответ: ,


III Сведение к однородному уравнению.


Выразим , и 1 через функции половинного аргумента.


Разделим обе части уравнения на


Если , то , и тогда .

Если , то , или .

Ответ: ,


IV Преобразование суммы в произведение.


Выразим через


Получим


Ответ: ,


V Применение формулы


Получим


Ответ:


VI Возведение в квадрат обеих частей уравнения.


или

Если , то .

Если , то .

Этот способ требует отбора решений. Из серии чисел решением будет серия , а серия - постороннее решение.

Из серии серия - решение, а серия - постороннее решение.

Ответ: ,

VII Замена выражением


или

Если , то .

Если , то .

Из серии чисел решением будет серия , а серия - постороннее решение.

Ответ: ,

Вывод: данное уравнение ученик 10-11 класса может решить семью предложенными методами.


2.4. Выясним сколькими методами смогут решить уравнение учащиеся 10 и 11 классов.


Как видно из диаграммы в основном учащиеся решили уравнение тремя наиболее знакомыми им методами, которые можно отнести к универсальным.


Заключение.


Изучение литературы по выбранной теме позволило узнать очень много интересных фактов из истории развития тригонометрии как науки, познакомиться с новыми именами математиков прошлого, занимавшихся решением тригонометрических уравнений.

При рассмотрении методов решения тригонометрических уравнений мы еще раз убеждаемся, что некоторые методы действительно являются универсальными, а другие именно специфическими, то есть применяемыми только в тригонометрии. Но самое главное то, что получаем ещё раз подтверждение: любой метод решения тригонометрических уравнений сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.

И действительно был прав Лейбниц некогда сказавший: «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели».


Литература


  1. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. – М.: Дрофа, 2003.

  2. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.

  3. Королёв С. В. Тригонометрия на экзамене по математике: учебное пособие. – М.: «Экзамен», 2006.

  4. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М. «Просвещение», 1990.

  5. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. М. «Просвещение», 1991.

  6. Решетников Н. Н. Материалы курса «Тригонометрия в школе». Лекции 1 – 8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. Журнал «Математика в школе», №3, 1998.

  7. Симонов А.Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. М. «Просвещение», 1991.

  8. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. М. «Просвещение», 1989.





Похожие:

Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconМуниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №16 Научно – практическая конференция учащихся
Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №16
Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconУста в муниципального общеобразовательного учреждения средняя общеобразовательная школа «Юность»
Муниципальное общеобразовательное учреждение–средняя общеобразовательная школа «Юность» (далее по тексту Устава Школа) создана в...
Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconП. А. Каурова (602266. Владимирская область; г. Муром ул. Кооперативная, 7а тел. 2-44-19) Научно практическая конференция «Отечество»
Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа №8 им. П. А. Каурова
Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconИнформация о муниципальном общеобразовательном учреждении
Муниципальное общеобразовательное учреждение – средняя общеобразовательная школа «Юность» ( моу – сош «Юность )
Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconРаботы
...
Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconРайонная научно – практическая конференция проектных, исследовательских работ «Первые шаги в науке»
Россия. Тюменская область. Заводоуковский городской округ. Муниципальное автономное учреждение «Першинская средняя общеобразовательная...
Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconXiii муниципальная научно-практическая конференция «Юность Севера» Участники и призеры!!! Номинация «Первые шаги в науке»
Влияние произведений Э. Успенского на формирование читательского интереса младших школьников Гребнев Андрей, 4 кл
Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconВыступление на научно-практической конференции «Юность: творчество, поиск, успех» Методы решения тригонометрических уравнений
Цель данной работы: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения, связанные с решением тригонометрических уравнений
Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconМуниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6

Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconМуниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6

Муниципальное общеобразовательное учреждение Аннинская средняя общеобразовательная школа №6 II муниципальная научно-практическая конференция «Юность: творчество, поиск, успех» iconПоложение о муниципальной научно-практической конференции «Первая ступень к науке» по предметам математического цикла Муниципальная научно-практическая конференция «Первая ступень к науке»
Муниципальная научно-практическая конференция «Первая ступень к науке» по предметам математического цикла проводится по инициативе...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib2.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы