«Графические приёмы при решении задач с параметрами» (метод областей)
|
«Графические приёмы при решении задач с параметрами» (метод областей) Автор опыта: Полякова Елена Александровна, учитель высшей квалификационной категории, Соросовский учитель математики Белгород, 2012г.
«При каких значениях параметра неравенство выполняется при всех ?» познакомимся с методом областей, сделав замечание о том, что взгляд на параметр как на равноправную переменную находит своё отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно, можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость . Отказ от традиционного выбора букв и для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – «метод областей». Решение. 1). Раскроем модули с учётом знака подмодульного выражения: 2). Запишем все системы получившихся неравенств: а) б) в) г) 3). Покажем множество точек, удовлетворяющих каждой системе неравенств 4). Объединяя все области, показанные на рисунке штриховкой, можно заметить, что неравенству не удовлетворяют точки , лежащие внутри парабол. На рисунке видно, что при любом значении параметра можно найти область, где лежат точки, координаты которых удовлетворяют исходному неравенству. Неравенство выполняется при всех , если . Ответ: при . II. Делаем вывод: рассмотренный пример представляет собой «открытую задачу» - можно рассмотреть решение целого класса задач, не изменяя рассмотренное в примере выражение, в которых технические трудности построения графиков уже преодолены. Примени полученные знания для решения задач. Задача1. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений? Ответ: при . Задача 2. При каких значениях параметра уравнение имеет два решения? Запишите оба найденных решения. Ответ: , тогда , ; , тогда ; , тогда ; , тогда , . Задача 3. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень? Найдите этот корень. Ответ: при при . Задача 4. Решите неравенство . («Работают» точки, лежащие внутри парабол). Ответ: , ; , ; , решений нет; , ; , . III. Пришли к выводу о самых общих признаках, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод:
IV. Уточняем и записываем в тетрадь процесс решения задач с помощью метода областей Процесс решения задач схематично выглядит так:
V. Перейти к решению задач, к которым рекомендации более конкретны: получить равенство вида , выражая параметр через переменную; на плоскости строить график функции . Задача 1.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств образует на числовой прямой отрезок длины 1. Решение. Перепишем исходную систему в таком виде Все решения этой системы (пары вида ) образуют некоторую область, ограниченную параболами и (рис 1). Рис. 1. Очевидно, решением системы неравенств будет отрезок длины 1 при и при . Ответ: ; . Задача 2.Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит число , а так же содержит два отрезка длиной , не имеющие общих точек. Решение. По смыслу неравенства ; перепишем неравенство, умножив обе его части на (), получаем неравенство: , , , , (1) Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем: 1) 2) Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 2). Рис. 2 Очевидно, интервал не может содержать отрезка длины . Значит, два непересекающихся отрезка длины содержатся в интервале . Это возможно при , т.е. при . Ответ: . Задача 3.Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок длиной 4 и при этом содержится в некотором отрезке длиной 7. Решение. Проведём равносильные преобразования, учитывая, что и . , , , , ; последнее неравенство равносильно совокупности двух систем: 1) 2) Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 3). Рис. 3 1) При множество решений – это интервал длиной, меньшей 4. При множество решений – это объединение двух интервалов .Содержать отрезок длиной 4 может только интервал . Но тогда , и объединение уже не содержится ни в каком отрезке длиной 7. Значит, такие не удовлетворяют условию. 2) множество решений – это интервал . Он содержит отрезок длиной 4, только если его длина больше 4, т.е. при . Он содержится в отрезке длиной 7, только если его длина не больше 7, т. е. при , тогда . Ответ: . Задача 4. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит число 4, а также содержит два непересекающихся отрезка длиной 4 каждый. Решение. По условия . Домножим обе части неравенства на (). Получим равносильное неравенство, в котором сгруппируем все члены в левой части и преобразуем её в произведение: , , , . Из последнего неравенства следует: 1) 2) Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 4). Рис. 4 а) При получаем интервал , не содержащий числа 4. При получаем интервал , также не содержащий числа 4. б) При получаем объединение двух интервалов. Непересекающиеся отрезки длиной 4 могут располагаться только в интервале . Это возможно только в том случае, если длина интервала больше 8, т. е. если . При таких выполнено и другое условие: . Ответ: . Задача 5. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит какой-нибудь отрезок длиной 2, но не содержит никакого отрезка длиной 3. Решение. По смыслу задания , умножим обе части неравенства на , сгруппируем все члены в левой части неравенства и преобразуем её в произведение: , , , . Из последнего неравенства следует: 1) 2) Покажем область, которая соответствует первой системе (рис. 5). Рис. 5 Очевидно, что условие задачи выполняется, если . Ответ: . Задача 6. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства 1+ содержится в некотором отрезке длиной 1 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 0,5. Решение. 1). Укажем ОДЗ переменной и параметра: 2). Перепишем неравенство в виде , , , , (1). Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем: 1) 2) С учётом ОДЗ решения систем выглядят так: 1) а) б) Покажем область, соответствующую системе а) (рис. 6). Рис. 6 2) а) б) Покажем область, соответствующую системе а) (рис. 7). Рис. 7 Ответ: . Задача 7. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий. Решение. I. Найдём все решения неравенства . а). ОДЗ: , т.е. (учли в решении, что функция возрастает на ). б). На ОДЗ неравенство равносильно неравенству , т.е. , что даёт: 1). 2). Очевидно, решением неравенства служит множество значений . II. Проиллюстрируем вторую часть задачи о членах возрастающей арифметической прогрессии рисунком ( - первый член, - второй и т.д.) Рис. 8 Очевидно, что одновременно должны выполняться условия: Перепишем эти условия в виде системы неравенств: Систему этих линейных неравенств решим графическим способом. Построим прямые и , а также прямые , , , , , , . Все решения этой системы образуют область, показанную штриховкой на рисунке. Рис. 9 Ответ: возможные значения первого члена . Задача 8. . Найдите все значения при которых в области определения функции столько же целых чисел, сколько их в области определения функции Решение. I. Покажем, что в области определения второй функции имеется ровно три целых числа. Целые значения из области определения функции удовлетворяют условию , тогда это числа: -1; 0; 1. Функция чётная; Заметим, если , то . II. Функция определена, если Найдём корни квадратного трёхчлена тогда . Перепишем систему неравенств в виде (*) Последняя система равносильна совокупности двух систем: а) б) На плоскости покажем графическое решение системы (*) (см. рис.10). Вероятно, что 3 целых числа в области определения функции следует искать среди чисел 0, 1, 2, 3 и, может быть, числа 4. Проведём дополнительные прямые , , , , и посмотрим, при каких выполняется условие задачи. Очевидно, что в области определения функции ровно 3 целых числа при всех Ответ: Задача 9. При каких значениях параметра площадь фигуры, заданной на координатной плоскости условием , равна 24? Решение. 1) , тогда такой фигуры не существует. 2) т. е. , что возможно при тогда эта фигура – точка . 3) . Выясним, какую фигуру задаёт множество точек, удовлетворяющих условию задачи. Заметим, что Получаем системы неравенств: а). б). в) г) В плоскости покажем множество точек, удовлетворяющих, каждой системе неравенств (см. рис. 11). Рис. 11 Оказалось, что при заданное множество – параллелограмм с центром в точке и сторонами, параллельными прямым и , которому соответствует площадь, равная 24. 4) , тогда Ответ: при VI. Дома: решить задачи. Задача 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств образует на числовой прямой отрезок длины 1. Ответ: ; . Задача 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение. Ответ: Задача 3. Найдите все значения параметра , при которых в множестве решений неравенства можно расположить два отрезка длиной 1 и длиной 4, которые не имеют общих точек. Ответ: . Задача 4. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержится в некотором отрезке длиной 4 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 2. Ответ: . Задача 5. Семь чисел образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью . Первый, второй и шестой члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений разности этой прогрессии. Ответ: . VII. Подводим итог: разобранные задачи достаточно убедительно демонстрируют эффективность предложенного метода. (Однако, к сожалению, сфера применения этого метода ограничена трудностями, с которыми можно столкнуться при построении графического образа.) |
Похожие:
 | Правила и приёмы решения физических задач (2 ч) Выполнения плана решения задачи. Числовой расчёт. Анализ решения и оформление решения. Типичные недостатки при решении и оформлении... | | Документи ... |
| Документи ... | | Автор: Медведева Анастасия, учащаяся 10 класса моу сош №3. Алексашина Галина Михайловна, учитель математики «Применение математических методов при решении задач из различных областей науки и практики» |
| Пояснительная записка. Элективный курс «Решение задач с параметрами» Элективный курс «Решение задач с параметрами» является предметно-ориентированным и предназначен для обучающихся 10 класса, сориентированных... | | Решение нестандартных задач Систематизировать знания, умения и навыки при решении задач со смешанными числами |
| Секция «Математика» «Применение математических методов при решении задач из различных областей науки и практики» Даже юристы и историки берут на своё вооружение математические методы» Слова Гнеденко Б. В, советского математика, подтверждают это... | | Решение задач в 1-2 действия на сложение и вычитание. Цели: Закрепить умения и навыки при решении задач Совершенствовать работу над письменными приёмами сложения и вычитания двузначных чисел |
| Его величество, Граф! Готовясь к егэ по информатике, я встретила затруднение при решении некоторых задач. Обратившись за помощью к учителю, я узнала, что... | | Содержание программы: Повторение (8 ч) I. Векторы. Метод координат. (17 ч.) Понятие вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по двум неколлинеарным... |